24.1.3弧、弦、圆心角

回忆：1.圆是轴对称图形.2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．3.垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．DCBOEA∵CD⊥AB,∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.垂径定理三种语言定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.24.1.3弧弦圆心角·圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.OBA∠AOB为圆心角圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为AB。⌒概念做一做:判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。①②③④2、说出右图中圆心角∠AOB、∠AOD分别所对的弦、弧。1、说出右图中的圆心角。任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角弧弦·OBA猜想：这三个量之间会有什么关系呢？圆绕其圆心旋转任意角度都能够与自身重合。如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？·OABA1B1∵∠AOB=∠A1OB1∴AB=A1B1，AB=A1B1.⌒⌒如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB=∠A1OB1=600，请问上述结论还成立吗？为什么?·O1·OABA1B1∵∠AOB=∠A1OB1∴AB=A1B1，AB=A1B1.⌒⌒同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____，所对的弦________；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_________．这样，我们就得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．相等相等相等相等同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．圆心角定理加深理解：定理中可否把“在同圆或等圆中”去掉？为什么？1、如图，两同心圆中，∠AOB=∠A’OB’,问：①AB与A‘B’是否相等？②AB与A‘B‘是否相等？.B’A’ABO2、如图，∠1=∠2，∠1对AD，∠2对BC，问：AD=BC吗？为什么？.OADBC⌒⌒12（不相等）（不相等）答：不相等，因为AD，BC不是“相等圆心角对等弦”的弦(1)圆心角(2)弧(3)弦知一得二等对等定理整体理解：OαABA1B1α证明：∵AB=AC∴AB=AC,△ABC等腰三角形．又∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.·ABCO例题例1如图在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.⌒⌒⌒⌒1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．（2）如果=，那么____________，______________．（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，____________．（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？·CABDEFOAOBCODAB=CDAOBCODAB=CD解：相等∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD.又∵AO=CO，BO=DO，∴△AOB≌△COD.又∵OE、OF是AB与CD对应边上的高，∴OE=OF.练习⌒CD⌒AB⌒AB⌒CD=⌒AB⌒CD=2.如图，AB是⊙O的直径，,∠COD=35°，求∠AOE的度数．·AOBCDEBOC=COD=DOE=35180335AOE75解：⌒BC⌒CD==⌒DE⌒BC⌒CD==⌒DEACBD1、如图,在⊙O中∠AOB=40O，当∠COD=，AB=CD。⌒⌒.DCBAO2：如图在⊙O中AC=BD，∠1=450，求∠2的度数=.⌒⌒ABCDO1240O45O⌒3、如图，在⊙O中弦AB=CD，求证：BC=AD。⌒证明：∵AB=CD∴AB=CD⌒⌒∴AB-AC=CD-AC⌒⌒⌒⌒即:BC=AD⌒⌒1、如图，AB，AC都是⊙O的弦，且∠CAB=∠CBA，求证：∠COB=∠COAOBACOACDBE证明：∵∠CAB=∠CBA（已知），∴AC=BC（等角对等边）∴∠COB=∠COA（在同一圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的加以角相等）。2、如图，AB，CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，求证：AC=BE⌒⌒证明：∵AB，CD是⊙O的两条直径，∴∠AOC=∠BOD。∴AC=BD，又∵BE=BD，∴AC=BE∴BE=AC，⌒⌒1°弧n°1°n°弧∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心角是1º.同时整个圆也被分成了360份.则每一份这样的弧叫做1º的弧.这样,1º的圆心角对着1º的弧,1º的弧对着1º的圆心角.nº的圆心角对着nº的弧,nº的弧对着nº的圆心角.性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.小结作业1、教材89页第3题