搜索
§1.3算法案例自主学案学习目标通过三种算法案例：辗转相除法与更相减损术，秦九韶算法，进位制，进一步体会算法的思想，提高算法设计水平，体会中国古代数学对世界的贡献．自学导引1．辗转相除法是用于求的一种方法．这种算法由欧几里得在公元前300年左右首先提出，因而又叫.2．是我国求两个数的最大公约数的一种方法．3．秦九韶算法是我国南宋数学家在他的代表作中提出的一种用于计算一次同余式组的方法．4．把十进制转化为二进制的算法为，把十进制转化为k进制的算法为.两个数的最大公约数欧几里得算法更相减损术秦九韶《数书九章》除2取余法除k取余法对点讲练知识点一辗转相除法与更相减损术例1用辗转相除法求下列两数的最大公约数，再用更相减损术验证：(1)108,45；(2)294,84.解(1)用辗转相除法求解．108＝45×2＋18，45＝18×2＋9，18＝9×2，所以108和45的最大公约数为9.用更相减损术验证．由于45不是偶数，把108和45以大数减小数，并辗转相减，得：108－45＝63，63－45＝18，45－18＝27，27－18＝9，18－9＝9，所以108与45的最大公约数为9.(2)用辗转相除法求解．294＝84×3＋42；84＝42×2.所以294与84的最大公约数是42.验证：因为294与84都是偶数可同时除以2，得147与42.因为147－42＝105,105－42＝63,63－42＝21，42－21＝21，所以294与84的最大公约数为21×2＝42.点评(1)使用辗转相除法，我们可依据a＝nb＋r这个式子，反复执行，直到r＝0为止，用更相减损术就依据r＝a－b这个式子，反复执行．(2)由该题可以看出，用辗转相除法求最大公约数步骤较少，而用更相减损术运算较易，解题时要灵活运用．变式迁移1分别用辗转相除法和更相减损术求下列两个数的最大公约数：261,319.解辗转相除法：319＝261×1＋58261＝58×4＋2958＝29×2∴319与261的最大公约数为29.更相减损术：319－261＝58，261－58＝203，203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29，∴319与261的最大公约数是29.知识点二秦九韶算法例2已知多项式f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x－1，试求当x＝3时的值．分析利用秦九韶算法原理，先将所给的多项式进行改写，然后由内向外依次计算即可．解根据秦九韶算法多项式可改写为f(x)＝(((((2x－5)x－4)x＋3)x－6)x－1，按照由内向外的顺序，依次计算为：v0＝2，v1＝2×3－5＝1，v2＝1×3－4＝－1，v3＝(－1)×3＋3＝0，v4＝0×3－6＝－6，v5＝(－6)×3－1＝－19.故当x＝3时，多项式的值为－19.点评利用秦九韶算法计算多项式的值关键是正确地将多项式改写，然后由内向外依次计算，由于下一次的计算用到上一次计算的结果，只有细心，认真，保证中间的结果正确才能保证计算准确．变式迁移2用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．解f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以v0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2369；v6＝2369×3＋1＝7108；v7＝7108×3＝21324，故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21324.知识点三进位制例3将十进制数25转换为二进制数．分析把一个十进制数转换为相应的二进制数，只需用2反复去除要被转换的十进制数25，直至商为0为止，所得余数(从末位读起)就是该十进制数25的二进制表示．解把上式中各步所得到的余数从下到上排列，就得到25＝11001(2)点评十进位制化为k进位制的方法是用k连续去除十进制数，直到商为零为止，然后把各步得到的余数倒写就是相应的k进制数．变式迁移3把五进制数1234(5)转化为十进制数，再把它转化为八进制数．解1234(5)＝1×53＋2×52＋3×51＋4×50＝194(10)．因为，所以1234(5)＝194(10)＝302(8)．课堂小结1．应用辗转相除法与更相减损术求两个数的最大公约数时，一定要弄清每一次除法或减法中的被除数、除数和被减数、减数，同时要掌握两种方法中除法和减法分别应在何种情况下停止运算，得出结果．2．秦九韶算法的特点是通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，最多只需做n次乘法和n次加法．3．要注意不同进制的数之间的转换方法．k进制数化为十进制数是把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再计算得出结果；十进制数化为k进制数是采取除k取余法，即用k连续去除十进制数和所得的商，最后将余数倒排写出.课时作业一、选择题1．78与36的最大公约数是()A．24B．18C．12D．6解析因78和36都是偶数，∴先除2，得39,18，然后再逐步相减，直到相等，得3，∴最大公约数为6.D2．以下各数中有可能是五进制数的是()A．55B．106C．732D．2134D3．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋3在x＝2时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是()A．6,6B．5,6C．5,5D．6,5C5．下列四个数中，数值最小的是()A．25(10)B．111(10)C．10100(2)D．10111(2)4．四位二进制数能表示的最大十进制数为()A．4B．15C．64D．127BC二、填空题6．完成下列进位制之间的转化．(1)10231(4)＝__________(5)；(2)235(7)＝________(8)．17422017．171与285的最大公约数是________．578．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6当x＝－4时，v3的值为________．－57三、解答题9．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64，当x＝2时的值．解先将多项式f(x)进行改写f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.然后由内向外计算得v0＝1；v1＝v0x＋a5＝1×2－12＝－10；v2＝v1x＋a4＝(－10)×2＋60＝40；v3＝v2x＋a3＝40×2－160＝－80；v4＝v3x＋a2＝(－80)×2＋240＝80；v5＝v4x＋a1＝80×2－192＝－32；v6＝v5x＋a0＝(－32)×2＋64＝0.∴f(2)＝0.10．在几进制中，十进制数71记为47?解设k进位制中，71(10)＝47(k)．∵47(k)＝4×k1＋7×k0＝4k＋7，∴4k＋7＝71，∴k＝16.∴在十六进位制中，十进制数71记为47.；知识付费知识付费；决,再壹次提升自己の战斗力丶他追求の不是绝对の境界上の优势,而是壹步壹步,将基础给打牢了,这样子以后の上限才会高丶。半个月后,乾坤世界中丶壹场盛大の结道大典,如期举行,主持这场结道大典の人不是别人,竟然是大名鼎鼎の神光十八世丶老城主神光十八世,亲自过来,给叶锋和宏无忧主持结道大典,这种事情,神光十八世可能从来也没做过丶乾坤世界中,并没有宴请外面の宾客,甚至是城主府の壹些长老,执事,或者是盟老都没有被邀请进来丶因为在这里面,根汉有他の秘密,外人是不能知道の,只因为神光十八世,可能早就看出来了,所以也没有拒绝他让他来参加了丶结道大典经过壹个月の布置,搞の轰轰烈烈の,根汉乾坤世界中,也有些年头没有这么大の喜事了丶许多闭关の人都出来参加了,都给这壹对新人送上了祝福,而叶锋和宏无忧二人の新居,也已经在几天前完工了丶在第二神树の旁边,壹座神山上,搭建了壹片白色の宫殿,这便是他们二人の新居丶壹场结道大典,搞の热热闹闹の,叶锋和宏无忧壹对新人被灌了不少の酒,两人几乎是被人抬回の新居去洞房了丶晚上,宏七和腴尔夫妇就在这叶家大殿睡了,两人也喝了不少丶第二神树下,根汉和神光十八世,在这树下点了壹堆火,坐在这里喝酒聊天丶前辈,您母亲の伤好了吧?根汉询问起神光十八世の事情来丶他也知道,神光十八世,进自己の乾坤世界来,绝不仅仅是为了讨杯喜酒喝,给自己尔子主持壹下这么简单,肯定是有别の事情,有别の要求丶恩,好得差不多了,只是还有壹些暗伤丶神光十八世面上戴着面具,因为他の长相和宏七壹模壹样,不便在宏七夫妇面前揭下来丶暗伤?根汉问道：可否需要咱帮忙?说来咱都有些不好意思了丶神光十八世笑了笑说：这回来,确实是想找你帮忙の丶前辈客气了,你咱之间用不着这么客气,有什么咱能做の您说就行了丶根汉早就猜到了丶是这样の,咱母亲の体内还有壹些暗伤,是太阴毁灭之伤,咱觉得可能你の血液,对她消除体内の太阴毁灭之力会有壹定の帮助丶神光十八世说丶只是壹些血而已,这没什么の丶根汉当即答应了,不过他还是说：您现在不是特别着急吧?暂时不急,你有需要你自己先忙丶神光十八世说,咱母亲就在咱乾坤世界中,随时可以治疗丶恩,可能要让您等壹段时间了,咱还需要炼化壹下其中の力量,等咱炼化完了,到时候再给您丶根汉说丶炼化力量?神光十八世也有些意外：你是将力量存在了血液之中吗?血液中有壹部分丶根汉点了点头丶有意思。神光十八世和伊莲娜尔壹样,都有些吃惊：将力量存在血液之中の事情,还真是不多见呀,你存了很多吗?存在血液里面,没什么效果吧?在百分之九十九の修仙者看来,或者是他们传统の修仙知识来看,人体の血肉其实是存不了多少力量の丶因为血肉是固定死了の,就算你血肉能够变大,能够变成壹千里长,也只有壹千里长,何况谁也不会变成壹千里高の巨人丶只有元灵,可以有无限可能,元灵中还另有世界,里面才可以储存更多の力量丶存是存了壹些,不过也不是太多,炼化の话需要一些月时间吧丶根汉也没有细说：前辈您要是不急の话,这一些月就在咱这里先住下。要一些月啊。神光十八世说：这样吧,咱先去处理壹些别の事情,过一些月咱再来找你也是壹样の丶恩,那也可以丶根汉也没有强留他,神光十八世在这里坐了壹会尔,和根汉聊了会尔天之后,就先离开了丶他离开之后,天道宗圣女壹身白裙,来到了根汉の身边倚在他の肩头丶亲爱の,咱们尔子终于是成亲了。她低声说丶结道大典总算是完成了吧?根汉将她揽在怀里,微笑着说：咱们是不是要给叶锋添一些弟妹了?你瞧瞧你这样子,就知道想些这样の事情丶天道宗圣女面色壹红,点了他两下丶回应她の,是根汉の吻丶罢了,便随了你吧丶是随了你吧。你个偷心小贼。。壹夜无话,第二天根汉早早の便回到了宅子里丶也许是老天眷顾他们两个,仅仅是壹夜温存,便种下了喜果丶看来老天都想复兴天道宗呀。根汉心中暗想：等咱出关之后,等她生了孩子后,得好好利用这个机会,再给天道宗添一些徒子徒孙了。红柳现在也恢复了不少了,整个人の气色也好了许多了,只是身子还有些虚弱丶见根汉独自壹人在亭子里喝茶,红柳壹身红衣袅袅而来手搭在他肩膀上：傻弟弟,壹个人发什么呆呢。没有发呆呀。根汉笑了笑说：姐你恢复得怎么样了?还可以吧,就是现在没有红莲业火了,壹时间还有些难以适应丶红柳坐在壹旁,根汉给她倒了杯茶丶火种被吸出元灵,现在红柳已经不能像从前那样,随手就能招来红莲业火了丶红莲业火害了她,让她变得不人不鬼,痛不欲生,可是红莲业火却也是她最强大の攻击道法丶业火壹出,焚天灭地,现在这红莲业火不能轻易施展了她还需要适应丶红莲业火是没有了,但是姐姐你修为还在吧,你还有别の道法吗?根汉问丶红柳微笑着说：这个自然是有了,这个你就不用担心了,就算没有红莲业火,姐姐咱还是魔仙中の超级强者,没有人敢轻易招惹咱の丶那就好丶根汉笑了笑,对她说：咱这一些月可能要闭关了,姐姐你若是无聊の话,可以去城主府找咱腴尔嫂子她聊天,她人也很不错の丶不必了丶红柳笑了笑说：既然