高二数学选修1、2-1-2椭圆的简单几何性质

第二章圆锥曲线与方程人教A版数学第二章圆锥曲线与方程人教A版数学第二章圆锥曲线与方程人教A版数学1．知识与技能掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的a，b以及c，e的几何意义，a，b，c，e之间的相互关系．2．过程与方法能根据椭圆的方程讨论椭圆的几何性质会用代数方法研究曲线的特殊几何性质，如：对称中心，对称轴，范围等．第二章圆锥曲线与方程人教A版数学第二章圆锥曲线与方程人教A版数学本节重点：利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质．本节难点：椭圆的几何性质的实际应用．1．根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根据椭圆的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两类：一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长短轴长、焦距、离心率；一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点．第二章圆锥曲线与方程人教A版数学2．根据椭圆几何性质解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，用代数知识解决几何问题，体现了数形结合思想、函数与方程及等价转化的数学思想方法．第二章圆锥曲线与方程人教A版数学第二章圆锥曲线与方程人教A版数学1．通过对椭圆的范围、对称性、特殊点(顶点、焦点、中心)、准线、对称轴及其他特性的讨论从整体上把握曲线的形状、大小和位置，进而掌握椭圆的性质，学习过程中应注意，图形与方程对照、方程与性质对照，只有通过数形结合的方式才能牢固掌握椭圆的几何性质．2．涉及直线与椭圆位置关系问题时，注意判别式及韦达定理的运用，特别是函数与方程思想在解题中的应用．第二章圆锥曲线与方程人教A版数学3．利用待定系数法求椭圆标准方程一定要注意先“定型”，“再定量”，在焦点位置不确定时，要注意分类讨论．4．椭圆上两个重要的三角形(1)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，周长为2(a＋c)．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成了一个直角三角形，称为椭圆的特征三角形，边长满足a2＝b2＋c2.第二章圆锥曲线与方程人教A版数学5．离心率对椭圆扁圆程度的影响如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝ca，ca越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；ca越小，∠BF2O越大，椭圆越圆．第二章圆锥曲线与方程人教A版数学第二章圆锥曲线与方程人教A版数学1．椭圆的对称中心叫做椭圆的，所以椭圆是对称图形．中心中心第二章圆锥曲线与方程人教A版数学这四个点叫做椭圆的，线段A1A2叫做椭圆的，它的长等于；线段B1B2叫做椭圆的，它的长等于.显然，椭圆的两个焦点在它的上．4．椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的．顶点长轴2a短轴2b长轴离心率第二章圆锥曲线与方程人教A版数学第二章圆锥曲线与方程人教A版数学[例1]求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．[分析]由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆的方程；②研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准形式然后再写出性质．第二章圆锥曲线与方程人教A版数学[解析]把已知方程化成标准方程x216＋y29＝1，于是a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝ca＝74，两个焦点坐标分别是(－7，0)，(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．第二章圆锥曲线与方程人教A版数学[点评]解决这类问题关键是将所给方程正确地化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系求椭圆的几何性质．第二章圆锥曲线与方程人教A版数学已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．第二章圆锥曲线与方程人教A版数学[解析]把椭圆的方程写成x2m＋y2mm＋3＝1.∵m0，∴m－mm＋3＝m(m＋2)m＋30.∴mmm＋3，即a2＝m，b2＝mm＋3.∴c＝a2－b2＝m－mm＋3＝m(m＋2)m＋3.第二章圆锥曲线与方程人教A版数学由e＝32，得m(m＋2)m＋3m＝32，∴m＝1.∴椭圆的标准方程为x2＋y214＝1.∴a＝1，b＝12，c＝32.故椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F1－32，0，F232，0；四个顶点坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1(0，－12)，B2(0，12).第二章圆锥曲线与方程人教A版数学[例2]已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A(3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．[分析]由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆的几何性质；②求椭圆的标准方程．解答本题要把已知条件转化为有关a、b、c的关系式．第二章圆锥曲线与方程人教A版数学[解析]解法一若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由题意2a＝3·2b9a2＋0b2＝1，解得a＝3b＝1.∴椭圆方程为x29＋y2＝1；若焦点在y轴上，设方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，第二章圆锥曲线与方程人教A版数学由题意2a＝3·2b0a2＋9b2＝1，解得a＝9b＝3.∴椭圆方程为y281＋x29＝1.综上所述，椭圆方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.第二章圆锥曲线与方程人教A版数学解法二设椭圆方程为x2m＋y2n＝1(m0，n0，m≠n)，则由题意得9m＝12m＝3·2n，或9m＝12n＝3·2m，解得m＝9n＝1，或m＝9n＝81，∴方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.第二章圆锥曲线与方程人教A版数学[点评]已知椭圆的几何性质，求其标准方程的方法步骤：(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆方程的形式，(2)确立关于a、b、c的关系方程(组)，求出参数a、b、c，(3)写出标准方程．第二章圆锥曲线与方程人教A版数学求适合下面条件的椭圆的标准方程．(1)经过点P(－5,0)、Q(0，－3)．(2)长轴的长为10，离心率等于第二章圆锥曲线与方程人教A版数学[解析](1)由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P、Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点．于是得a＝5，b＝3.又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.(2)由已知，2a＝10，e＝ca＝35，∴a＝5，c＝3，则b2＝52－32＝16.由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求的椭圆标准方程为x225＋y216＝1，或y225＋x216＝1.第二章圆锥曲线与方程人教A版数学[例3]F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，PF1⊥PQ且|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率．[分析]由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆上两点与焦点连线的几何关系．②求椭圆的离心率．解答本题的关键是把已知条件化为a、b、c之间的关系．第二章圆锥曲线与方程人教A版数学[解析]如图所示，设|PF1|＝m，则|PQ|＝m，|F1Q|＝2m.由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝|QF1|＋|QF2|＝2a.所以|PF1|＋|PQ|＋|F1Q|＝4a.即(2＋2)m＝4a.所以m＝(4－22)a.又|PF2|＝2a－m＝(22－2)a.在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2.即(22－2)2a2＋(4－22)2a2＝4c2.第二章圆锥曲线与方程人教A版数学所以c2a2＝9－62＝3(2－1)2.所以e＝ca＝6－3.第二章圆锥曲线与方程人教A版数学[点评]所谓求椭圆的离心率e的值，即求的值，所以，解答这类题目的主要思路是将已知条件转化为a、b、c之间的关系．如特征三角形中边边关系、椭圆的定义、c2＝a2－b2等关系都与离心率有直接联系，同时，a、b、c之间是平方关系，所以，在求e值时，也常先考查它的平方值．第二章圆锥曲线与方程人教A版数学设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()A.22B.2－12C．2－2D.2－1[答案]D第二章圆锥曲线与方程人教A版数学[解析]设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)如图，∵F1(－c,0)，∴P(－c，yP)代入椭圆方程得c2a2＋y2Pb2＝1，∴y2P＝b4a2，∴|PF1|＝b2a＝|F1F2|，即b2a＝2c，又∵b2＝a2－c2，∴a2－c2a＝2c，∴e2＋2e－1＝0，又0e1，∴e＝2－1.第二章圆锥曲线与方程人教A版数学第二章圆锥曲线与方程人教A版数学[例4]2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行．该轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆．选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km.已知地球半径R＝6371km.第二章圆锥曲线与方程人教A版数学(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程；(2)飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105km，问飞船巡天飞行平均速度是多少？(结果精确到1km/s)第二章圆锥曲线与方程人教A版数学[解析](1)设椭圆的方程x2a2＋y2b2＝1.由题设条件得a－c＝|OA|－|OF2|＝|F2A|＝6371＋200＝6571.a＋c＝|OB|＋|OF2|＝|F2B|＝6371＋350＝6721.解得a＝6646，c＝75.所以a2＝44169316，b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝44163691，所以椭圆的方程为x244169316＋y244163691＝1.第二章圆锥曲线与方程人教A版数学(2)从15日9时到16日6时共21个小时，合21×3600秒，减去开始的9分50秒，即9×60＋50＝590(s)，再减去最后多计的1分钟，共计590＋60＝650(s)，飞船巡天飞行时间是21×3600－650＝74950(s)，所以飞船巡天飞行的平均速度是8km/s.[点评]解答本题的关键是要明确近地点与远地点的几何意义，把实际问题转化为数学问题求解．第二章圆锥曲线与方程人教A版数学某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为焦点的椭圆，近地点A距地面m千米，远地点B距离地面n千米，地球半径为k千米，则飞船运行轨道的短轴长为()A．2(m＋k)(n＋k)B.(m＋k)(n＋k)C．m·nD．2mn[答案]A第二章圆锥曲线与方程人教A版数学[解析]由题意可得a－c＝m＋k，a＋c＝n＋k，故(a－c)(a＋c)＝(m＋k)(n＋k)．即a2－c2＝b2＝(m＋k)(n＋k)，所以b＝(m＋k)(n＋k)，所以椭圆的短轴长为2(m＋k)(n＋k)，故选A.第二章圆锥曲线与方程人教A版数学第二章圆锥曲线与方程人教A版数学[例5]已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最小，并求出最小值．第二章圆锥曲线与方程人教A版数学[解析]设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x－y＋m＝0，由x2＋8y2＝8，x－y＋m＝0得9y2－2my＋m2－8＝0，Δ＝4m2－36(m2－8)＝0，所以m＝3或m＝－3.所以与椭圆相切的直线为x－y±3＝0；其中与直线l距离较近的切线方程为x－y＋3＝0，所以最小距离为d＝|4－3|2＝22.第二章圆锥曲线与方程人教A版数学此时，由x2＋8y2＝8，x－y＋3＝0得x＝－83，y＝13，即P－83，13.[点评]本题利用了数形结合的思想寻找解题思路，简化了运算过程，也可以设出P点坐标，利用点到直线的距离公式求出最小值．第二章圆锥曲线与方程人教A版数学已知A(4,0)、B(2,2)是椭圆x225＋y29＝1内的两个点，M是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最大值和最小值．第二章圆锥