高中数学平面直角坐标系

课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接【学习目标】1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用．2．通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．3．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．4．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接5．借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等)了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接【学习计划】内容学习重点建议学习时间平面直角坐标系坐标系的选择；坐标法；伸缩变换2课时极坐标系极坐标系；极坐标和直角坐标的互化2课时简单曲线的极坐标方程直线和圆的极坐标方程2课时球坐标系与柱坐标系简介两种坐标系的意义2课时课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接【课标要求】1．了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用．2．理解平面直角坐标系中的伸缩变换．3．能够建立适当的直角坐标系，运用解析法解决数学问题．第一节平面直角坐标系【核心扫描】1．对平面直角坐标系的应用以及坐标法的考查是本节热点．2．本节内容常与方程、平面几何图形结合命题．3．理解图形伸缩变换与坐标变换之间的关系．(难点)课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)，曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合．(2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系．(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．自学导引课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接2．平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换．(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换___________________的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．φ：x′＝λx，λ0y′＝μy，μ0课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接想一想如何理解点的坐标的伸缩变换？提示在平面直角坐标系中，变换φ将点P(x，y)变换到P′(x′，y′)．当λ1时，是横向拉伸变换，当0λ1时，是横向压缩变换；当μ1时，是纵向拉伸变换，当0μ1时，是纵向压缩变换．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接1．坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上起着划时代的作用．坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁．利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置．它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究．建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决．名师点睛课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接2．解析法解题步骤第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论．3．体会用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法(1)平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标伸缩变换，学习中可结合坐标间的对应关系进行理解．(2)对于图形的伸缩变换问题，需要搞清新旧坐标，区别x，y和x′，y′，点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原曲线的方程，点(x′，y′)的坐标适合变换后的曲线方程．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接【思维导图】课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接题型一运用坐标法解决解析几何问题【例1】(2013·福州模拟)如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得|PM|＝2|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接[思维启迪]本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：|PM|＝2|PN|，即|PM|2＝2|PN|2，结合图形由勾股定理转化为|PO1|2－12＝2(|PO2|2－12)．设P(x，y)，由距离公式写出代数关系式，化简整理可得．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接解以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0)．由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2.因为两圆的半径均为1，所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33，所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．【反思感悟】建立坐标系的几个基本原则：①尽量把点和线段放在坐标轴上;②对称中心一般放在原点;③对称轴一般作为坐标轴．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．【变式1】解如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.∵|MA|＝|MB|，∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝2.这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x2－y28＝1(x0)．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接在▱ABCD中，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．[思维启迪]解答本题可以运用坐标方法，先在▱ABCD所在的平面内建立平面直角坐标系，设出点A、B、C、D的坐标，再由距离公式完成证明．也可以运用向量的线性运算以及数量积运算加以证明．题型二用坐标法解决平面几何问题【例2】课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接解法一坐标法：以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)，则AC的中点Eb2，c2，由对称性知D(b－a，c)，所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2，|AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2，|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab，∴|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接法二向量法：在▱ABCD中，AC→＝AB→＋AD→，两边平方得AC→2＝|AC→|2＝AB→2＋AD→2＋2AB→·AD→，同理得BD→2＝|BD→|2＝BA→2＋BC→2＋2BA→·BC→，以上两式相加，得|AC→|2＋|BD→|2＝2(|AB→|2＋|AD→|2)＋2BC→·(AB→＋BA→)＝2(|AB→|2＋|AD→|2)，即|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接【反思感悟】本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和．法一是运用代数方法即解析法实现几何结论的证明的．这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一．法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接已知在△ABC中，点D在BC边上，且满足|BD|＝|CD|，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．【变式2】证明法一以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)，则Da＋b2，c2，所以|AD|2＋|BD|2＝（a＋b）24＋c24＋（a－b）24＋c24＝12(a2＋b2＋c2)，|AB|2＋|AC|2＝a2＋b2＋c2＝2(|AD|2＋|BD|2)．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接法二延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，CE，则四边形ABEC为平行四边形，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和得|AE|2＋|BC|2＝2(|AB|2＋|AC|2)，即(2|AD|)2＋(2|BD|)2＝2(|AB|2＋|AC|2)，所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接题型三平面直角坐标系中的伸缩变换【例3】在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：x′＝3x，2y′＝y.(1)求点A13，－2经过φ变换所得的点A′的坐标；(2)点B经过φ变换得到点B′－3，12，求点B的坐标；(3)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程；(4)求双曲线C：x2－y264＝1经过φ变换后所得曲线C′的焦点坐标．[思维启迪]解答本题首先要根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用，明确原来的点与变换后的点的坐标，利用方程的思想求解．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接解(1)设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：x′＝3x2y′＝y得到x′＝3xy′＝12y，由于A13，－2，于是x′＝3×13＝1，y′＝12×(－2)＝－1，∴A′(1，－1)为所求．(2)设B(x，y)，由伸缩变换φ：x′＝3x2y′＝y得到x＝13x′y＝2y′，由于B′－3，12，于是x＝13×(－3)＝－1，y＝2×12＝1，∴B(－1，1)为所求．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接(3)设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将x＝13x′y＝2y′代入y＝6x得2y′＝6×13x′，所以y′＝x′，即y＝x为所求．(4)设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将x＝13x′y＝2y′代入x2－y264＝1得x′29－4y′264＝1，化简得x′29－y′216＝1，即x29－y216＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，且焦点F1(5，0)，F2(－5，0)为所求．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接【反思感悟】1.对于图形的伸缩变换问题，需搞清新旧坐标，区别x，y和x′，y′.2．平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换都是可逆变换，可是，解题时仍需要注意三个方面：一是原来的点的坐标(x，y)(或原曲线的方程f(x，y)＝0)，二是变换后的点的坐标(x′，y′)(或变换后曲线的方程f(x′，y′)＝0)，三是伸缩变换关系式x′＝λxλ0y′＝μyμ0，其中区分变换的前后方向是关键．课前自主学习课堂讲练互动教材超级链接【变式3】(1)在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换x′＝12x，y′＝13y后的图形．①5x＋2