专题10.4 圆锥曲线的综合应用-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学(文)(原卷

第十章圆锥曲线专题4圆锥曲线的综合应用（文科）【三年高考】1.【2017山东，文21】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:22221xyab(ab0)的离心率为22,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为22.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,圆N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与圆N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.2.【2017天津，文20】已知椭圆22221(0)xyabab的左焦点为,()0Fc，右顶点为A，点E的坐标为(0,)c，EFA△的面积为22b.（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，3||2FQc，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PMQN∥，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程.3.【2016高考山东文数】已知椭圆C:错误!未找到引用源。（ab0）的长轴长为4，焦距为2错误!未找到引用源。.（I）求椭圆C的方程；(Ⅱ)过动点M(0，m)(m0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明错误!未找到引用源。为定值.(ii)求直线AB的斜率的最小值.4．【2016高考四川文科】已知椭圆E：22221(0)xyabab的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1(3,)2P在椭圆E上.(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：MAMBMCMD．5．【2016高考上海文科】有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F点或河边运走。于是，菜地分为两个区域1S和2S，其中1S中的蔬菜运到河边较近，2S中的蔬菜运到F点较近，而菜地内1S和2S的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1,0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程（2）菜农从蔬菜运量估计出1S面积是2S面积的两倍，由此得到1S面积的“经验值”为38。设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边、另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于1S面积的经验值6．【2015高考新课标1，文5】已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线2:8Cyx的焦点重合，,AB是C的准线与E的两个交点，则AB()（A）3（B）6（C）9（D）127.【2015高考山东，文21】平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2222+=1(0)xybb的离心率为32，且点（3，12）在椭圆C上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：2222+=144xyab，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线=+ykxm交椭圆E于,AB两点，射线PO交椭圆E于点Q.（i）求||||OQOP的值；(ii)求ABQ面积的最大值.8.【2015高考重庆，文21】如题（21）图，椭圆22221xyab（ab0）的左右焦点分别为1F,2F,且过2F的直线交椭圆于P,Q两点，且PQ1PF.(Ⅰ)若|1PF|=2+2，|2PF|=2-2，求椭圆的标准方程.(Ⅱ)若|PQ|=|1PF|，且3443，试确定椭圆离心率的取值范围.9.【2015高考四川，文20】如图，椭圆E：22221xyab(ab0)的离心率是22，点P(0，1)在短轴CD上，且PCPD＝－1(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数λ，使得OAOBPAPB为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.【2017考试大纲】【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题,由定义法求曲线的方程、由已知条件直接求曲线的方程、直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合等是高考的热点，题型大多为解答题，难度为中档题或难题，主要考查求曲线轨迹方程的方法，圆锥曲线的定义与性质应用，各圆锥曲线间的联系，直线与圆锥曲线间的位置关系及弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等，其中直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系是考查的重点和热点，考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力，分析问题与解决综合问题的能力，是高考中区分度较大的题目.【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式,椭圆、双曲线、抛物线的性质综合问题是高考考试的重点，每年必考，一般是两小一大的布局，试题难度往往是有一道基础题，另一道是提高题，难度中等以上，有时作为把关题．考查方面离心率是重点，其它利用性质求圆锥曲线方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求圆锥曲线中的最值或范围问题，过定点问题，定值问题等．从近三年的高考试题来看，小题中双曲线的定义、标准方程及几何性质是高考的热点，题型大多为选择题、填空题，难度为中等偏低，主要考查双曲线的定义及几何性质，考查基本运算能力及等价转化思想，而椭圆、抛物线的性质一般，一道小题，一道解答题，难度中等，有时作为把关题存在，而且三大曲线几乎年年都考，故预测2018年求曲线的方程和研究曲线的性质、直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合等仍是高考的热点，题型大多为解答题，难度为仍中档题或难题，仍主要考查求曲线轨迹方程的方法，圆锥曲线的定义与性质应用，各圆锥曲线间的联系，直线与圆锥曲线间的位置关系及弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等，其中直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系仍是考查的重点和热点，考查的知识点仍然较多，能力要求高，尤其是运算变形能力，分析问题与解决综合问题的能力，仍是高考中区分度较大的题目，在备考时，熟练掌握求曲线方程的常用方法，掌握直线与圆锥曲线问题的常见题型与解法，加大练习力度，提高运算能力和综合运用知识分析解决问题能力，要特别关注与向量、导数等知识的结合，关注函数思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想在解题中的应用．【2018年高考考点定位】高考对圆锥曲线综合问题的考查有三种主要形式：一是考查求曲线方程；二是考查圆锥曲线间的知识运用；三是直线与圆锥曲线的位置关系，这是高考中考查的重点和难点，主要涉及的题型为中点弦问题、最值与取值范围问题、定点与定值问题、探索性问题，从涉及的知识上讲，常与平面向量、函数与导数、方程、不等式等知识相联系，考查知识点多，运算量大，能力要求高，难度大是这种题型的一大特征.【考点1】求轨迹方程【备考知识梳理】1．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程(,)0fxy的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做这条曲线的方程；这条曲线叫做这个方程的曲线.2．直接法求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式——列出动点P所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．【规律方法技巧】1.求轨迹方程的常用方法一般分为两大类，一类是已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数——待定系数法；另一类是不知曲线类型常用的方法有：(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0；(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(4)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．2.求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等【考点针对训练】1.【湖南省衡阳市2017届高三第三次联考】已知对任意平面向量,ABxy，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量cossin,sincosAPxyxy，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P.设平面内曲线C上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转4后得到点的轨迹是曲线222xy，则原来曲线C的方程是（）A.1xyB.1xyC.222yxD.221yx2.【福建省三明市2017届5月质量检查】已知直线yxm与抛物线24xy相切，且与x轴的交点为M，点1,0N.若动点P与两定点,MN所构成三角形的周长为6．(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；(Ⅱ)设斜率为12的直线l交曲线C于,AB两点，当PMMN，且,AB位于直线PM的两侧时，证明：APMBPM.【考点2】圆锥曲线间的综合【备考知识梳理】1.要熟记椭圆的定义、标准方程与几何性质.2.要熟练掌握双曲线的定义、标准方程与几何性质.3.要熟练掌握抛物线的定义、标准方程与几何性质.【规律方法技巧】1.解圆锥曲线间的综合问题时，要结合图像进行分析，理清所涉及到圆锥曲线间基本量之间的关系，实现不同曲线间基本量的转化.2.熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单几何性质是解题的关键.【考点针对训练】1.【2017届四川省资阳市高三一模】已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab的右顶点为A，抛物线2:8Cyax的焦点为F．若在E的渐近线上存在点P，使得APFP，则E的离心率的取值范围是（）A.1,2B.321,4C.32,4D.2,2.【安徽省亳州市2017届高三质量检测】已知抛物线21:8(0)Cyaxa，直线l倾斜角是45且过抛物线1C的焦点，直线l被抛物线1C截得的线段长是16，双曲线2C：22221xyab的一个焦点在抛物线1C的准线上，则直线l与y轴的交点P到双曲线2C的一条渐近线的距离是（）A.2B.3C.2D.1【考点3】直线与圆锥曲线位置关系的综合问题【备考知识梳理】1.将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y得到关于x的方程20mxnxp.(1)若m≠0，当△＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点.当△=0时，直线与圆锥曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线相切.当△＜0时，直线与圆锥曲线无公共点.（2）当m=0时，若圆锥曲线为双曲线，则直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行；若圆锥曲线为抛物线，则直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线的对称轴平行.（3）设直线与圆锥曲线的交点A（1x，1y），B（2x，2y），则12nxxm，12pxxm.2.直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.【规律方法技巧】1.在处理直线与圆锥曲线的位置关系问题时，常用设而不求法，即常将圆锥曲线与直线联立，消去y（或x）化为关于x（或y）的一元二次方程，设出直线与圆锥曲线的交点坐标，则交点的横（纵）坐标即为上述一元二次方程的解，利用根与系数关系，将12xx，12xx表示出来，注意判别式大于零不能丢，然后根据问题，再通过配凑将其化为关于12xx与12xx的式子，将12xx，12xx代入再用有关方法取处理，注意用向量法处理共线问题