2.3.2～2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算 课件(人教A必修4)

NO.1课堂强化名师课堂·一点通考点三课前预习·巧设计创新演练·大冲关第二章平面向量考点一考点二读教材·填要点小问题·大思维解题高手NＯ.2课下检测2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2～2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算[读教材·填要点]1．平面向量的正交分解把一个向量分解成两个的向量，叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝，则把有序数对叫做向量a的坐标．记作，此式叫做向量的坐标表示．(2)在直角坐标平面中，i＝，j＝，0＝．互相垂直向量(x，y)xi＋yja＝(x，y)(1,0)(0,1)(0,0)单位3．平面向量的坐标运算向量的加、减法若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，a－b＝．即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量的和(差)实数与向量的积若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的向量的坐标已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝，即向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)相应坐标(λx，λy)相应坐标(x2－x1，y2－y1)ABAB[小问题·大思维]1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．2．已知向量＝(－1，－2)，M点的坐标与的坐标有什么关系？提示：坐标相同但写法不同；＝(－1，－2)，而M(－1，－2)．OMOMOM3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量．4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变．[研一题][例1]已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和AB与AD的坐标．[自主解答]由题知B、D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，得x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，∴B32，12.x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝32，∴D－12，32.∴AB＝32，12，AD＝－12，32.[悟一法]向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．因此，求向量a的坐标，关键是正确求出其起点和终点的坐标．[通一类]1．已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|＝43，∠xOA＝60°，(1)求向量OA的坐标；(2)若B(3，－1)，求BA的坐标．解：(1)设点A(x，y)，则x＝43cos60°＝23，y＝43sin60°＝6，即A(23，6)，OA＝(23，6)．(2)BA＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).[研一题][例2]如图所示，已知△ABC，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求DF的坐标．[自主解答]∵A(7,8)，B(3,5)，C(4，3)，∴AB＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)，AC＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．又∵D是BC的中点，∴AD＝12(AB＋AC)＝12(－4－3，－3－5)＝12(－7，－8)＝(－72，－4)．∵M、N分别为AB，AC的中点，∴F为AD的中点．∴DF＝－FD＝－12AD＝－12(－72，－4)＝(74，2)．[悟一法]1．向量的几种运算体系：(1)向量有三种运算体系，即几何表示下的图形上的几何运算，字母表示下的运算和坐标表示下的代数运算．(2)几何表示下的几何运算应注意三角形法则、平行四边形法则；字母表示时，注意运算律的应用；坐标运算时要牢记公式，细心计算．2．向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．[通一类]2．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于()A．－12a＋32bB.12a－32bC.32a－12bD．－32a＋12b解析：由题意，设c＝xa＋yb，∴(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)，∴－1＝x＋y，2＝x－y，∴x＝12，y＝－32，∴c＝12a－32b.答案：B[研一题][例3]已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及OP＝OA＋tAB.(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由．[自主解答](1)OP＝OA＋tAB＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)，若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－23.若点P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－13.若点P在第二象限，则1＋3t0，2＋3t0，∴－23t－13.(2)OA＝(1,2)，PB＝(3－3t,3－3t)．若四边形OABP为平行四边形，则OA＝PB，∴3－3t＝1，3－3t＝2，该方程组无解．故四边形OABP不能成为平行四边形．保持例题条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？解：由OP＝OA＋tAB得AP＝tAB.∴当t＝2时，AP＝2AB，B为线段AP的中点．[悟一法]1．如果两个向量是相等向量，那么它们的坐标一定对应相等．当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与表示向量的有向线段终点的坐标相同．2．证明一个四边形为平行四边形，可证明该四边形的一组对边所对应的向量相等．[通一类]3．已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标．(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标．解：(1)由v＝f(u)可得当u＝(x，y)时，有v＝(y,2y－x)＝f(u)，从而f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(2)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(4,5)，∴y＝4，2y－x＝5，解得x＝3，y＝4，即c＝(3,4).[解]法一：设a＝(m，n)，b＝(p，q)，则有m2＋n2＝1，p2＋q2＝1，m＋p＝1，n＋q＝0，解得m＝p＝12，q＝－32，n＝32，或m＝p＝12，q＝32，n＝－32.故所求向量为a＝(12，32)，b＝(12，－32)，或a＝(12，－32)，b＝(12，32)．若向量|a|＝|b|＝1，且a＋b＝(1,0)，求a与b的坐标．法二：设a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则有cosα＋cosβ＝1，①sinα＋sinβ＝0.②由①②得(1－cosβ)2＋sin2β＝1，即cosβ＝12.将cosβ＝12代入①②得cosα＝12，sinα＝32，sinβ＝－32，或cosα＝12，sinα＝－32，sinβ＝32.故所求向量为a＝(12，32)，b＝(12，－32)，或a＝(12，－32)，b＝(12，32)．法三：设a＝OP＝(m，n)，b＝OR＝(p，q)，OQ＝(1,0)．由题意有OP＋OR＝OQ.则四边形OPQR为平行四边形．又∵|OP|＝|OR|＝|OQ|＝1，∴△OPQ，△OQR均为正三角形，故所求向量为a＝(12，32)，b＝(12，－32)或a＝(12，－32)，b＝(12，32)．[点评]法一利用模的概念和向量的坐标运算，通过解方程组来求解，思路自然严谨；法二利用了“三角换元”，借助三角公式简化了运算；法三利用了数形结合，解法直观，简洁明了．