008-小波分析(第三讲)--小波包_二代小波_Matlab工具使用

小波包分析与第二代小波北京科技大学阳建宏2020/3/3北京科技大学机械工程学院2/82主要内容小波包分析第二代小波Matlab在小波分析中的应用北京科技大学机械工程学院3/82双通道滤波过程A：信号的近似值原始信号通过低频滤波器产生，表示信号的低频分量D：信号的细节值原始信号通过高频滤波器产生，表示信号的高频分量然后，对信号的近似信号A继续使用滤波器进行分解□如果S表示原始的输入信号，DWT的概念是通过两个互补的滤波器（高频和低频）产生A和D两个信号离散小波的分解北京科技大学机械工程学院4/82小波分解树离散小波的分解北京科技大学机械工程学院5/82完全重构小波系数不经过处理，通过逆变换重构回原始信号S=cA1+cD1=cA2+cD2+cD1=cA3+cD3+cD2+cD1单支重构用其中某一层近似或细节系数重构阈值处理小波系数后重构,()0,sgn()(),()0,代表原始小波系数，表示阈值处理后的小波系数，然后再进行小波的逆变换软阈值硬阈值,()0,离散小波的重构北京科技大学机械工程学院6/82□离散小波变换只是对近似信号进行再分解，而没有对细节信号进行再分解，因此没有提高细节信号的频率分辨率。为什么要用小波包分析？北京科技大学机械工程学院7/82□小波包理论是在多尺度分析和Mallat算法基础上发展起来的。□小波包分析同时分解细节信号和近似信号小波包分解算法：近似信号细节信号)()()()(tGPtPtHPtPijijijij12112H低通滤波器G高通滤波器Pij是第j层小波包分解得到的第i个小波包S11P21P12P22P32P42P13P23P43P53P63P73P83P小波包的分解北京科技大学机械工程学院8/82从时域来看小波包分解每一层的小波包数目比上一层中的小波包数目增加一倍每个小波包的数据长度比上一层小波包数据长度减半每个小波包的时域分辨率比上一层小波包的时域分辨率减半小波包的分解北京科技大学机械工程学院9/82从频域来看小波包分解每个小波包数据是原始信号在不同频率段上的成份小波包的频带相邻，并且带宽相等分解的层数越多，频率段划分得越细小波包的分解北京科技大学机械工程学院10/82原始信号小波包的分解---实例北京科技大学机械工程学院11/82重构公式：)()()(21*121*tPGtPHtPijijijH*、G*分别为H和G的对偶算子，也为H和G的共轭转置矩阵设原始信号经过J层小波包分解后得到2j个小波包如果要重构第2i个小波包的数据，把这一层中其他小波包的数据置零。将处理后的数据代入重构公式，一层一层向上进行重构重构过程：小波包的重构北京科技大学机械工程学院12/82小波包分解方法是小波分解的一般化，可为信号分析提供更丰富和更详细的信息。例如，小波包分解的原始信号S表示为S11P21P12P22P32P42P13P23P43P53P63P73P83P11P53P63P42PS=+++小波包的重构北京科技大学机械工程学院13/82电机振动信号，采样频率5120Hz电机转速频率电机转速频率的四倍频第5层小波包分解小波包---应用1北京科技大学机械工程学院14/82第5层小波包分解0号小波包重构2号小波包重构电机转速频率电机转速频率的四倍频小波包---应用1最高分析频率f=fs/2=2560Hz每个小波包的频率带宽为d=f/32=80Hz电机转速频率50Hz∈[080]，即为0号小波包电机转速频率的四倍频200Hz∈[160240]，即2号小波包北京科技大学机械工程学院15/82时域振动信号轴承内圈出现故障，出现冲击，但被噪声淹没频域图第5层小波包分解由冲击引起的固有振动频率，难以识别轴承故障小波包---应用2轴承内圈故障圆锥轴承内圈轻度剥落信号北京科技大学机械工程学院16/8223号小波包重构轴的转动周期一个周期内约有9个冲击，与理论分析相符，说明小波包分解有效第5层小波包分解小波包---应用2轴承内圈故障最高分析频率f=fs/2=20/2=10KHz每个小波包的频率带宽为d=f/32=312.5Hz频谱图中的频率范围6000~8000Hz对应的小波包频宽范围6000/312.5~8000/312.5Hz。即为18~26号小波包北京科技大学机械工程学院17/82频域图16号小波包重构第5层小波包分解一个周期内约有7个冲击，与理论分析相符，说明小波包分解有效最高分析频率f=fs/2=20/2=10KHz每个小波包的频率带宽为d=f/32=312.5Hz频谱图中的频率范围3500~5500Hz对应的小波包频宽范围3500/312.5~5500/312.5Hz即为11~18号小波包小波包---应用3轴承外圈剥落故障时域振动信号北京科技大学机械工程学院18/82小波包分解能够对每一层分解后得到的高频信号进行再分解，提高了信号高频部分的多尺度分析能力，弥补了小波分解的不足小波包分解保留了信号在各个不同频率段的成分，因此小波包分解后，信号的信息量是完整的采用小波包分解能够提取信号中有用的频率成分，因此可以有效地用于信号的特征提取小波包---小结北京科技大学机械工程学院19/82主要内容小波包分析第二代小波Matlab在小波分析中的应用北京科技大学机械工程学院20/821995年，贝尔实验室的Sweldens博士提出了一种全新的在时域中构造小波的第二代小波方法(thesecondgenerationwavelet)，又名提升方法(LiftingScheme)。第二代小波方法相对于传统小波算法而言，是一种更为快速有效的小波变换实现方法，它不依赖Fourier变换，完全在时域完成了对双正交小波滤波器的构造。这种构造方法在结构化设计和自适应构造方面的突出优点弥补了传统频域构造方法的不足。第二代小波的提出北京科技大学机械工程学院21/82（1）在构造方法上，第二代小波变换采用提升方法，而第一代小波的构造是从滤波器组的频域特性要求出发，构造不同特性的小波。（2）在多分辨分析方面，第二代小波变换的小波空间和尺度空间不再是由一个基函数通过伸缩和平移而得到的，因此，一般情况下，多分辨空间不具备伸缩和平移不变性。而第一代小波变换的多分辨空间是由一个固定的基函数经过伸缩和平移构成的。第二代小波与第一代小波的比较北京科技大学机械工程学院22/82(3)第一代小波变换的小波函数和尺度函数的特性在构造完成之后，它们的特性不再改变，而第二代小波变换可以通过提升改善小波的特性。(4)在小波种类上，第一代小波的种类是有限的，而第二代小波在理论上可以任意构造小波.(5)第一代小波变换是以频域为基础进行的，而第二代小波变换是一种时域方法，但可以获得与第一代小波变换相同的时频特性。第二代小波与第一代小波的比较北京科技大学机械工程学院23/82Mallat算法通过低频滤波器和高频滤波器与信号进行卷积得到低频子带和高频子带提升算法剖分(split)将信号分成奇样本和偶样本序列，形成两个不相交的子集预测(predict)利用相邻信号之间的相关性，用一个子集预测另一个子集。通常用偶子集来预测奇子集，通过与原奇子集的差值，确定细节信息更新(update)细节信息通过更新，再与原偶子集相加来确定近似信息第二代小波的基本思想北京科技大学机械工程学院24/82剖分－PUSSeSocdP－USSeSocd重构第二代小波分解过程第二代小波的重构过程分解过程包括：剖分、预测和更新；重构过程包括:恢复更新、恢复预测和合并；其中在预测、更新、恢复更新、恢复预测四个阶段引入了预测器和更新器的概念。第二代小波变换北京科技大学机械工程学院25/82剖分－PUSSeSocd设数据序列{(),}SskkZ1第二代小波变换的分解过程如下:{(),}skkZ1)剖分.将数据序列分为奇样本序列和偶样本序21()()oskskkZ2()()eskskkZ)(P()esk2)预测.设P(·)为预测器，用预测,定义预测偏差。()osk为细节信号()dk()()[()]oedkskPskkZ第二代小波变换北京科技大学机械工程学院26/82P－USSeSocd重构剖分－PUSSeSocd)(P3)更新.设U(·)为更新器,在细节的基础上更新()dk其结果定义为逼近信号()eSk()()[()]eckskUdkkZ2重构过程为分解过程的逆过程，由恢复更新、恢复预测和合并组成。()()[()]eskckUdkkZ()()[()]oeskdkPskkZ第二代小波变换北京科技大学机械工程学院27/821、Haar小波2、db4小波第二代小波---构造方法北京科技大学机械工程学院28/823、以双正交小波CDF(2,2)第二代小波---构造方法北京科技大学机械工程学院29/82假设预测器长度N=2，更新器长度N’=4，基于插值细分原理的第二代小波分解过程如下原始信号剖分预测更新逼近信号x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)x(8)x(9)xe[1]xo[1]xe[2]xo[2]xe[3]xo[3]xe[4]xo[4]xe[5]d[1]d[2]d[3]d[4]s[1]s[2]s[3]s[4]s[5]11111-p1-p1-p1-p1-p2-p2-p2-p2u1u2u3u4细节信号第二代小波分解过程第二代小波变换北京科技大学机械工程学院30/82x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)x(8)x(9)s[1]d[1]s[2]d[2]s[3]d[3]s[4]d[4]s[5]xe[1]xe[2]xe[3]xe[4]xe[5]xo[1]xo[2]xo[3]xo[4]11111-u1-u2-u3-u4p1p1p1p1p2p2p2p2恢复更新恢复预测合并第二代小波重构过程第二代小波变换北京科技大学机械工程学院31/82020406080100120140160180200220-202原始信号o--偶样本，.---奇样本0102030405060708090100110-202偶样本序列0102030405060708090100110-202奇样本序列剖分北京科技大学机械工程学院32/82020406080100120-3-2-10123用偶样本预测奇样本020406080100120-3-2-10123奇样本-预测值=细节预测---用偶样本预测奇样本北京科技大学机械工程学院33/82020406080100120-1.5-1-0.500.51对细节信号更新020406080100120-3-2-10123偶样本+更新=逼近信号更新---偶样本更新得到逼近信号北京科技大学机械工程学院34/82020406080100120-202原始信号020406080100120-101第二代db8小波分解细节信号020406080100120-1012第二代db8小波分解近似信号020406080100120-202原始信号020406080100120-101第一代db8小波分解细节信号020406080100120-101第一代db8小波分解近似信号第一代小波与第二代小波对比北京科技大学机械工程学院35/82A3xD3xA2xD2xA1xD1xx(1)x(8)x(9)x(10)x(11)x(12)x(13)x(14)x(15)x(4)x(5)x(6)x(7)x(2)x(3)x(t)=x(1)a)小波变换过程b)小波包变换过程第二代小波包变换北京科技大学机械工程学院36/82设数据序列{(),}SskkZ{(),}skkZ1)剖分.将数据序列分为奇样本序列和偶样本序21()()oskskkZ2()(),eskskkZ第二代小波包变换也是有分解和重构两个过程.2)然后通过下面公式计算小波包第l层分解