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第26讲几何作图第六章图形的性质(二)1．尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺2．基本作图(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)作角的平分线；(4)作线段的垂直平分线；(5)过一点作已知直线的垂线．3．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．4．与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)；(2)作三角形的内切圆；(3)作圆的内接正方形和正六边形．5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型1．两种画图方法对于一个既不属于尺规基本作图，又不属于已知条件为边角边、角边角、角角边、边边边、斜边直角边的三角形的作图题，可以分析图形中是否有属于上述情况的三角形，先把它作出来，再发展成整个图形，这种思考方法，称为三角形奠基法；也可以按求作图形的要求，一步一步地直接画出图形，这时，关键的点常常由两条直线(或圆弧)相交来确定，称为交会法．事实上，往往把三角形奠基法和交会法结合使用．2．三点注意(1)一般的几何作图，初中阶段只要求写出已知、求作、作法三个步骤，完成作图时，需要注意作图痕迹的保留，作法中要注意作图语句的规范和最后的作图结论．(2)根据已知条件作几何图形时，可采用逆向思维，假设已作出图形，再寻找图形的性质，然后作图或设计方案．(3)实际问题要理解题意，将实际问题转化为数学问题．3．六个步骤尺规作图的基本步骤：(1)已知：写出已知的线段和角，画出图形；(2)求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化；(3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹；(4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件；(5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有解；(6)结论：对所作图形下结论．1．(2014·葫芦岛)观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是()A．PQ为∠APB的平分线B．PA＝PBC．点A，B到PQ的距离不相等D．∠APQ＝∠BPQC2．(2015·衢州)数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB＝c，一条直角边BC＝a，小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是()A．勾股定理B．直径所对的圆周角是直角C．勾股定理的逆定理D．90°的圆周角所对的弦是直径B3．(2015·嘉兴)数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q.”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是()AABCD4．(2015·深圳)如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是()DABCD5．(2015·自贡)如图，将线段AB放在边长为1的小正方形网格，点A，B均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB上画出点P，使AP＝2173，并保留作图痕迹．解：由勾股定理得AB＝42＋12＝17，∴AP＝2173时，AP∶BP＝2∶1，点P如图所示6．(2014·锦州)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图．(1)利用尺规作图在AC边上找一点D，使点D到AB，BC的距离相等．(不写作法，保留作图痕迹)(2)在网格中，△ABC的下方，直接画出△EBC，使△EBC与△ABC全等．解：(1)如图，作∠ABC的平分线(2)如图画三角形【例1】(2015·杭州)“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．(1)用记号(a，b，c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形，如(2，3，3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．(2)用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形．(用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹)解：(1)共9种：(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，3)，(2，3，4)，(2，4，4)，(3，3，3)，(3，3，4)，(3，4，4)，(4，4，4)(2)由(1)可知，只有(2，3，4)，即a＝2，b＝3，c＝4时满足a＜b＜c.如答图的△ABC即为满足条件的三角形【点评】(1)作三角形包括：①已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；②已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；③已知三角形的三边，求作三角形；(2)求作三角形的关键是确定三角形的顶点；而求作直角三角形时，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的图形．[对应训练]1．(营口模拟)如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)解：满足条件的所有图形如图所示：应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图【例2】(2015·庆阳)如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠A＝40°.(1)用尺规作图作AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E；(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)(2)求证：BD平分∠CBA.解：(1)图略(2)连接BD，∵∠C＝60°，∠A＝40°，∴∠CBA＝80°，∵DE是AB的垂直平分线，∴∠A＝∠DBA＝40°，∴∠DBA＝12∠CBA，∴BD平分∠CBA【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和基本作图，解题的关键是了解垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．[对应训练]2．(2015·济宁)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的一个外角．实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)(1)作∠DAC的平分线AM；(2)作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE，CF.猜想并证明：判断四边形AECF的形状并加以证明．解：如图，四边形AECF的形状为菱形．理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AM平分∠DAC，∴∠DAM＝∠CAM，而∠DAC＝∠ABC＋∠ACB，∴∠CAM＝∠ACB，∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，∠AOF＝∠COE，在△AOF和△COE中，∠FAO＝∠ECO，OA＝OC，∠AOF＝∠COE，∴△AOF≌△COE,∴OF＝OE，即AC和EF互相垂直平分，∴四边形AECF的形状为菱形通过画图确定圆心【例3】(朝阳模拟)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB︵)．(1)用直尺和圆规作出AB︵所在圆的圆心O；(要求保留作图痕迹，不写作法)(2)若AB︵的中点C到弦AB的距离为20m，AB＝80m，求AB︵所在圆的半径．解：(1)如图①，点O为所求(2)连接OA，OC，OC交AB于D，如图②，∵C为AB︵的中点，∴OC⊥AB，∴AD＝BD＝12AB＝40，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OD＝OC－CD＝r－20，在Rt△OAD中，∵OA2＝OD2＋AD2，∴r2＝(r－20)2＋402，解得r＝50，即AB︵所在圆的半径是50m【点评】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”，在AB上另找一点C，分别画弦AC，BC的垂直平分线，交点即为圆心O.[对应训练]3．(2015·怀化)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2.(1)求作⊙O，使它过点A，B，C；(要求：尺规和作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)所作的圆中，求出劣弧BC︵的长l.解：(1)如图所示，⊙O即为所求(2)∵AC＝1，AB＝2，∴∠B＝30°，∠A＝60°，∴∠BOC＝120°，∴l＝120π×1180＝2π3试题尺规作图，已知顶角和底边上的高，求作等腰三角形．已知：∠α，线段a.求作：△ABC，使AB＝AC，∠BAC＝α，AD⊥BC于D，且AD＝a.错解如图，(1)作∠EAF＝∠α；(2)作AG平分∠EAF，并在AG上截取AD＝a；(3)过D画直线MN交AE，AF分别于C，B，△ABC为所求作的等腰三角形．剖析上述画法考虑AD平分∠BAC，等腰三角形顶角的平分线与底边上的高重合，但是画法(3)没有注意到要使AD⊥BC，也难以使AB＝AC.正解如图(1)作∠EAF＝∠α(2)作AG平分∠EAF，并在AG上截取AD＝a(3)过D作MN⊥AG，MN与AE，AF分别交于B，C.则△ABC即为所求作的等腰三角形