双曲线与方程_知识点总结_例题习题精讲_详细答案

-1-一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（21212FFaPFPF（a为常数））。这两个定点叫双曲线的焦点。要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a＜|F1F2|。当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在。2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。二、双曲线的标准方程（222acb，其中|1F2F|=2c）焦点在x轴上：12222byax（a＞0，b＞0）焦点在y轴上：12222bxay（a＞0，b＞0）知能梳理-2-（1）如果2x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y轴上。a不一定大于b。（2）与双曲线12222byax共焦点的双曲线系方程是12222kbykax（3）双曲线方程也可设为：221(0)xymnmn需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺..：龙奇迹学习资料网三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab上220022-=1xyab2、直线与双曲线代数法：设直线:lykxm，双曲线)0,0(12222babyax联立解得02)(222222222bamamkxaxkab（1）0m时，bbkaa，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；bka，bka，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；（2）0m时，k存在时，若0222kab，abk，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于-3-一点；若2220bak，222222222(2)4()()amkbakamab2222224()abmbak0时，22220mbak，直线与双曲线相交于两点；0时，22220mbak，直线与双曲线相离，没有交点；0时22220mbak，2222mbka直线与双曲线有一个交点；k不存在，ama时，直线与双曲线没有交点；mama或直线与双曲线相交于两点；3、过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:lykxm过定点00(,)Pxy，双曲线)0,0(12222babyax（1）当点00(,)Pxy在双曲线内部时：bbkaa，直线与双曲线两支各有一个交点；abk，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；bka或bka或k不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；（2）当点00(,)Pxy在双曲线上时：bka或2020bxkay，直线与双曲线只交于点00(,)Pxy；bbkaa直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；2020bxkay（00y）或2020bxbkaay（00y）或bka或k不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当00y时，bka或k不存在，直线与双曲线只交于点00(,)Pxy；bka或bka时直线与双曲线的一支有两个交点；bbkaa直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；（3）当点00(,)Pxy在双曲线外部时：-4-当0,0P时，bbkaa，直线与双曲线两支各有一个交点；bka或bka或k不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m时，222mbka时，过点00(,)Pxy的直线与双曲线相切bka时，直线与双曲线只交于一点；需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺..：龙奇迹学习资料网四、双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为22221(0,0)xyabab渐近线方程：22220xyabxaby2、若双曲线方程为12222bxay（a＞0，b＞0）渐近线方程：22220yxabayxb3、若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax,0。4、若双曲线与12222byax有公共渐近线，则双曲线的方程可设为2222byax（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）五、双曲线与切线方程1、双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)Pxy处的切线方程是00221xxyyab。2、过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是00221xxyyab。3、双曲线22221(0,0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222AaBbc。-5-需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺..：龙奇迹学习资料网六、双曲线的性质双曲线标准方程（焦点在x轴）)0,0(12222babyax标准方程（焦点在y轴）)0,0(12222babxay定义第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数（小于12FF）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。aMFMFM221212FFa第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e，当1e时，动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e（1e）叫做双曲线的离心率。范围xa，yRya，xRxyP1F2FxyxyP1F2FxyxyP1F2FxyPxyP1F2FxyP-6-对称轴x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b对称中心原点(0,0)O焦点坐标1(,0)Fc2(,0)Fc1(0,)Fc2(0,)Fc焦点在实轴上，22cab；焦距：122FFc顶点坐标（a,0）(a,0)(0,a,)(0，a)离心率eace(1)，222cab，e越大则双曲线开口的开阔度越大准线方程cax2cay2准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：ca22顶点到准线的距离顶点1A（2A）到准线1l（2l）的距离为caa2顶点1A（2A）到准线2l（1l）的距离为aca2焦点到准线的距离焦点1F（2F）到准线1l（2l）的距离为22abccc焦点1F（2F）到准线2l（1l）的距离为cca2渐近线方程xaby(实虚)yabx(实虚)共渐近线的双曲线系方程kbyax2222（0k）kbxay2222（0k）直线和双曲线的位置双曲线12222byax与直线ykxb的位置关系：利用22221xyabykxb转化为一元二次方程用判别式确定。二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦AB的弦长2212121()4ABkxxxx通径：21AByy过双曲线上一点的切线12020byyaxx或利用导数00221yyxxab或利用导数-7-七、弦长公式1、若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,xx分别为A、B的横坐标，则221212()()ABxxyy，22221212121141||ABkxxkxxxxka，若12,yy分别为A、B的纵坐标，则21212122211114AByyyyyykk。2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长abAB22||。3、若弦AB所在直线方程设为xkyb，则AB＝2121kyy。4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解八、焦半径公式双曲线12222byax（a＞0，b＞0）上有一动点00(,)Mxy当00(,)Mxy在左支上时10||MFexa,20||MFexa当00(,)Mxy在右支上时10||MFexa,20||MFexa注：焦半径公式是关于0x的一次函数，具有单调性，当00(,)Mxy在左支端点时1||MFca，2||MFca，当00(,)Mxy在左支端点时1||MFca，2||MFca九、等轴双曲线12222byax（a＞0，b＞0）当ab时称双曲线为等轴双曲线1。ab；2。离心率2e；3。两渐近线互相垂直，分别为y=x；4。等轴双曲线的方程22yx，0；5。等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。十、共轭双曲线-8-以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线。共轭双曲线有共同的渐近线；共轭双曲线的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1。需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺..：龙奇迹学习资料网【例】如图所示，F为双曲线1169:22yxC的左焦点，双曲线C上的点iP与3,2,17iPi关于y轴对称，则FPFPFPFPFPFP654321的值是（）A．9B．16C．18D．27解：FPFP61FPFP52643FPFP，选C【例】设P为双曲线11222yx上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为（）A．36B．12C．312D．24解：2:3||:||,13,12,121PFPFcba由①又,22||||21aPFPF②精讲精练-9-由①、②解得.4||,6||21PFPF,52||,52||||2212221FFPFPF为21FPF直角三角形，.124621||||212121PFPFSFPF故选B。【例】某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s:相关各点均在同一平面上)思路：时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线12222byax上，依题意得a=680,c=1020，13405680340568010202222222222yxacb故双曲线方程为用y=－x代入上式，得5680x，∵|PB||PA|,10680),5680,5680(,5680,5680POPyx故即答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m10680处.【例】已知双曲线12222byax的离心