江苏2018届高考数学总复习专题3.1导数以及运算试题含解析

专题3.1导数以及运算【三年高考】1.【2017江苏】已知函数31()2eexxfxxx，其中e是自然对数的底数．若2(1)(2)0fafa≤，则实数a的取值范围是▲．【答案】1[1,]2【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())fgxfhx的形式，然后根据函数()fx的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()gx与()hx的取值应在函数()fx的定义域内．2．【2014江苏】在平面直角坐标系xoy中，若曲线2byaxx（,ab为常数）过点(2,5)P，且该曲线在点P处的切线与直线7230xy平行，则ab.【答案】3．【解析】曲线2byaxx过点(2,5)P，则452ba①，又2'2byaxx，所以7442ba②，由①②解得1,2,ab所以3ab．3．【2012江苏，理18】若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点；(3)设h(x)＝f(f(x))－c，其中c∈[－2,2]，求函数y＝h(x)的零点个数．【答案】(1)a＝0，b＝－3.(2)－2.(3)9．【解析】解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.(3)令f(x)＝t，则h(x)＝f(t)－c.先讨论关于x的方程f(x)＝d根的情况，d∈[－2,2]．当|d|＝2时，由(2)可知，f(x)＝－2的两个不同的根为1和－2，注意到f(x)是奇函数，所以f(x)＝2的两个不同的根为－1和2.当|d|＜2时，因为f(－1)－d＝f(2)－d＝2－d＞0，f(1)－d＝f(－2)－d＝－2－d＜0，所以－2，－1,1,2都不是f(x)＝d的根．由(1)知f′(x)＝3(x＋1)(x－1)．①当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)＞f(2)＝2，此时f(x)＝d无实根．同理，f(x)＝d在(－∞，－2)上无实根．②当x∈(1,2)时，f′(x)＞0，于是f(x)是单调增函数，又f(1)－d＜0，f(2)－d＞0，y＝f(x)－d的图象不间断，所以f(x)＝d在(1,2)内有唯一实根．同理，f(x)＝d在(－2，－1)内有唯一实根．③当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，故f(x)是单调减函数，又f(－1)－d＞0，f(1)－d＜0，y＝f(x)－d的图象不间断，所以f(x)＝d在(－1,1)内有唯一实根．由上可知：当|d|＝2时，f(x)＝d有两个不同的根x1，x2满足|x1|＝1，|x2|＝2；当|d|＜2时，f(x)＝d有三个不同的根x3，x4，x5满足|xi|＜2，i＝3,4,5.现考虑函数y＝h(x)的零点．当|c|＝2时，f(t)＝c有两个根t1，t2满足|t1|＝1，|t2|＝2，而f(x)＝t1有三个不同的根，f(x)＝t2有两个不同的根，故y＝h(x)有5个零点．当|c|＜2时，f(t)＝c有三个不同的根t3，t4，t5满足|ti|＜2，i＝3,4,5，而f(x)＝ti(i＝3,4,5)有三个不同的根，故y＝h(x)有9个零点．综上可知，当|c|＝2时，函数y＝h(x)有5个零点；当|c|＜2时，函数y＝h(x)有9个零点．4．【2017课标1，文14】曲线21yxx在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】1yx【解析】【考点】导数几何意义【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点),(00yxP及斜率，其求法为：设),(00yxP是曲线)(xfy上的一点，则以P的切点的切线方程为：))(('000xxxfyy．若曲线)(xfy在点))(,(00xfxP的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0xx．5.【2017天津，文10】已知aR，设函数()lnfxaxx的图象在点（1，(1)f）处的切线为l，则l在y轴上的截距为.【答案】1【解析】【考点】导数的几何意义【名师点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题型，函数fx在点0x处的导数0fx的几何意义是曲线yfx在点00,Pxy处的切线的斜率．相应地，切线方程为000yyfxxx．注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同,谨记，有切点直接带入切点，没切点设切点，建立方程组求切点.6.【2017课标1，文21】已知函数()fx=ex(ex﹣a)﹣a2x．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()0fx，求a的取值范围．【答案】（1）当0a，)(xf在(,)单调递增；当0a，()fx在(,ln)a单调递减，在(ln,)a单调递增；当0a，()fx在(,ln())2a单调递减，在(ln(),)2a单调递增；（2）34[2e,1]．【解析】试题分析：（1）分0a，0a，0a分别讨论函数)(xf的单调性；（2）分0a，0a，0a分别解0)(xf，从而确定a的取值范围．试题解析：（1）函数()fx的定义域为(,)，22()2(2)()xxxxfxeaeaeaea，①若0a，则2()xfxe，在(,)单调递增．②若0a，则由()0fx得lnxa．当(,ln)xa时，()0fx；当(ln,)xa时，()0fx，所以()fx在(,ln)a单调递减，在(ln,)a单调递增．③若0a，则由()0fx得ln()2ax．当(,ln())2ax时，()0fx；当(ln(),)2ax时，()0fx，故()fx在(,ln())2a单调递减，在(ln(),)2a单调递增．【考点】导数应用【名师点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出)('xf，有)('xf的正负，得出函数)(xf的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数)(xf极值或最值．7.【2017课标II，文21】设函数2()(1)xfxxe.（1）讨论()fx的单调性；（2）当0x时，()1fxax，求a的取值范围.【答案】（Ⅰ）在(,12)和(12,)单调递减，在(12,12)单调递增（Ⅱ）[1,)【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间（2）对a分类讨论，当a≥1时，()(1)(1)11xfxxxexax，满足条件；当0a时，取20000051,()(1)(1)112xfxxxax，当0＜a＜1时，取05412ax，20000()(1)(1)1fxxxax.试题解析：（1）2()(12)xfxxxe令()0fx得12x当(,12)x时，()0fx；当(12,12)x时，()0fx；当(12,)x时，()0fx所以()fx在(,12)和(12,)单调递减，在(12,12)单调递增当0a时，取20000051,()(1)(1)112xfxxxax综上，a的取值范围[1，+∞）【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.8.【2017课标3，文21】已知函数()fx=lnx+ax2+(2a+1)x．（1）讨论()fx的单调性；（2）当a﹤0时，证明3()24fxa．【答案】（1）当0a时，)(xf在),0(单调递增；当0a时，则)(xf在)21,0(a单调递增，在),21(a单调递减；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）先求函数导数(21)(1)'()(0)axxfxxx，再根据导函数符号变化情况讨论单调性：当0a时，0)('xf，则)(xf在),0(单调递增，当0a时，则)(xf在)21,0(a单调递增，在),21(a单调递减.（2）证明3()24fxa，即证max3()24fxa，而)21()(maxafxf，所以目标函数为121)21ln()243()21(aaaaf，即tty1ln（021at），利用导数易得0)1(maxyy，即得证.【考点】利用导数求单调性，利用导数证不等式【名师点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数()()()hxfxgx.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.9.【2017山东，文20】（本小题满分13分）已知函数3211,32fxxaxaR.,(I)当a=2时,求曲线yfx在点3,3f处的切线方程；(II)设函数cossingxfxxaxx,讨论gx的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【答案】(I)390xy,（2）(II)⑴0a无极值；⑵0a极大值为31sin6aa,极小值为a；⑶0a极大值为a,极小值为31sin6aa.【解析】试题分析：(I)根据求出切线斜率,再用点斜式写出切线方程；(II)由()(sin)gxxaxx,通过讨论确定gx单调性,再由单调性确定极值.（1）当0a时，'()()(sin)gxxaxx，当(,)xa时，0xa，'()0gx，()gx单调递增；当(,0)xa时，0xa，'()0gx，()gx单调递减；当(0,)x时，0xa，'()0gx，()gx单调递增.所以，当xa时，()gx取到极大值，极大值是31()sin6gaaa，当0x时，()gx取到极小值，极小值是(0)ga.（2）当0a时，'()(sin)gxxxx，当(,)x时，'()0gx，()gx单调递增；所以，()gx在(,)上单调递增，()gx无极大值也无极小值.（3）当0a时，'()()(sin)gxxaxx，当(,0)x时，0xa，'()0gx，()gx单调递增；当(0,)xa时，0xa，'()0gx，()gx单调递减；当0a时，函数()gx在(,0)和(,)a上单调递增，在(0,)a上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是(0)ga，极小值是31()sin6gaaa.【考点】导数的几何意义及导数的应用【名师点睛】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导