公开课――二次函数的图像与性质

3.5二次函数的图像和性质垦利职业中专：罗小平知识回顾1.一元二次方程的一般形式是什么？2。一次函数的定义是什么？ax2+bx+c=0形如y=kx+b(其中k,b为常数且k≠0)的函数叫做x的一次函数(a≠0)二次函数的概念•形如ｙ=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中，x是自变量，a，b，c分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项。注意：x的取值范围是R。驶向胜利的彼岸提问：1．上述概念中的a为什么不能是0？2.对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？当b＝0，c＝0时，y＝ax2当b＝0时，y＝ax2＋c当c＝0时，y＝ax2＋bx1:下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=3x-1()(2)y=3x2（)(3)y=3x3+2x2()(4)y=2x2-2x+1()(5)y=x-2+x()(6)y=x2-x(1+x)()不是是不是是不是不是例1：求作函数y=2x2-4x-3的图像。则以x=1为中间值，对称的取x的一些值，列表如下：x…………y…………解：y=2x2-4x-3=2（x2-2x+1）-2-3=2(x-1)2-522(1)0x对任意的实数x，都有22(1)55,5xy即当x=1时，ymin=-5-130-31-523-33x……-10123……y……3-3-5-33……在直角坐标系中描点、连线，可得：f(1-1)=f(1+1)=,f(1-2)=f(1+2)=,f(1-3)=f(1+3)=,………f(1-h)=f(1+h)=,-3-333131322-5h22-5h函数y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5f(1-1)=f(1+1)=,f(1-2)=f(1+2)=,f(1-3)=f(1+3)=,-3-3331313………f(1-h)=f(1+h)=,22-5h22-5h（1）1-h与1+h关于x=1对称吗？x=1-h和x=1+h的函数值有什么特点？你能写出该函数的对称轴吗？（2）该函数的顶点坐标是多少？（3）你能说出该函数的定义域、值域、单调性、奇偶性吗？函数y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5（1）1-h与1+h关于x=1对称吗？x=1-h和x=1+h的函数值有什么特点？你能写出该函数的对称轴吗？（2）该函数的顶点坐标是多少？（3）你能说出该函数的定义域、值域、单调性、奇偶性吗？x=1(1,-5)R[-5,+∞)减区间(-∞,1]增区间[1，+∞)f(1-1)=f(1+1)=,f(1-2)=f(1+2)=,f(1-3)=f(1+3)=,-3-3331313………f(1-h)=f(1+h)=,22-5h22-5h函数y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5x=1例题2：求作函y=-x2-2x+3的图像。所以当x=-1时，ymax=4以x=-1中间值，对称的取x的一些值，列表如下：x……-4-3-2-1012……y……-503430-5……2-(1)444xxy对任意的实数，都有＋，即解：y=-x2-2x+3=-(x2+2x)+3=-(x2+2x+1)+4=-(x+1)2+4例题2：求作函y=-x2-2x+3的图像。x……-4-3-2-1012……y……-503430-5……在直角坐标系中描点、连线，可得：（1）你能写出该函数的对称轴吗？（2）该函数的顶点坐标是多少？（3）你能说出该函数的定义域、值域、单调性、奇偶性吗？例题2：求作函y=-x2-2x+3的图像。（1）你能写出该函数的对称轴吗？（2）该函数的顶点坐标是多少？（3）你能说出该函数的定义域、值域、单调性、奇偶性吗？x=-1(-1,4)R（-∞，4]增区间(-∞,-1]减区间[-1，+∞)x=-1小结：开口方向取决于a，单调性取决于开口方向和对称轴图片+bx+c（a≠0）一般地，y=ax2配方：cxabxay+)+(=2cababxa+]4-)2+[(=222abacabxa4-4)2(22khxay2)-(则令：abh2-=aback4-4=2二次函数顶点式24-(-,)24bacbaax=-2ba2min4-(-)24bacbyfaa性质：⑴二次函数的图象是一条抛物线，顶点坐标为对称轴是直线⑵a0时，抛物线开口向上，在取得最小值在上单调递减，在上单调递增。⑶a0时，……x=-2ba(-,-]2ba[-,)2ba定义一般形式顶点式的取值图象抛物线性质定义域值域开口方向顶点坐标对称轴单调性在上减，在上增在上增，在上减奇偶性时为偶函数最值a)4-4=,2-=,0≠(+)-(=22abackabhakhxay其中0a0a0=byxoyxo向上向下,24[,)4acba24(-,]4acba24-(-,)24bacbaax=-2ba(,]2ba[,)2ba(,]2ba[,)2ba2min4,24bacbxyaa当时2max4,24bacbxyaa当时例题3：求函数y=3x2+2x+1的最小值及它的图像的对称轴，并说出它在那个区间上是增函数，那个区间上是减函数？解：依题意得，a=3,b=2,c=1,则：1-2a3b24243acba1233函数图像的顶点坐标为（，）a又因为0函数图像的开口向上，min23y对称轴为13x该函数在区间13（-,]上是减函数，在区间1)3[,+上是增函数。例题4：已知二次函数y=2ax2+(a+1)x+3是偶函数，求a的值，并确定其单调区间。解：依题意，得：010aa1a223yx开口向下，对称轴为x=0（-,0]0)[,+所以该函数的单调增区间为单调减区间为。二次函数为偶函数的充要条件是b=01:判断下列各函数图像，哪些是直线？哪些是抛物线？（1）3yx2(2)2yx1(3)22yx21(4)(1)2yx2(1)()361fxxx2(2)()21fxxx22()(1)(1)5fxmxmx2、求下列函数的顶点坐标、对称轴及最值。3、若二次函数是偶函数，则m的值是。图象：解析式：y=ax2+bx+c(a≠0)抛物线“形”结合一、定义形如的函数叫二次函数)0(2acbxaxy性质？二、通过图像分析和掌握二次函数的性质（函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等）三、会利用函数的性质解决有关问题。课外作业书山有路勤为径作业1：完成课本P63练习3-5第3题。作业2：结合本节课内容，课后小组探讨一下几个问题：•一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式有何重要关联？•一元二次函数的图像与坐标轴的交点情况如何分析？•一元二次函数在某个闭区间内的最值如何判断和求解？探究与思考：二次函数2(2)1-2yxmx在区间（，）上是减函数，则实数m的取值范围为。（1）二次函数的单调性取决于开口方向和对称轴。（2）函数的单调区间是指保持函数单调性的最大区间2m