高二理科数学归纳法

2.3数学归纳法山东省烟台市福山区福山一中高二数学组问题1:11,11,2,...1nnnnaaaana对于数列已知，猜想其通项公式111a212a1nan313a问题2：某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。问题情境一......我是白的哦！：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法结论一定可靠结论不一定可靠考察全体对象,得到一般结论的推理方法考察部分对象,得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法归纳法思考：归纳法有什么优点和缺点？优点：可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律缺点：仅根据有限的特殊事例归纳得到的结论有时是不正确的思考1：与正整数n有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢？思考2：如果一个数学命题与正整数n有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立;（2）假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立.最后由（1）（2）得出结论全体自然数成立数学归纳法【命题成立的连续性】【命题成立的必要性】这种证明方法叫做数学归纳法137951+3+5+…+(2n–1)=n2(n∈N*)证明：例1：观察归纳猜想：你能得出什么结论？并用数学归纳法证明你的结论。nn（1）当n=1时，左边=1,右边=12=1，等式成立.（2）假设n=k时等式成立，即1+3+5+…+(2k–1)=k2,则n=k+1时，1+3+5+…+[2(k+1)–1]=1+3+5+…+(2k–1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2.即n=k+1时等式也成立.根据（1）,（2）知等式对一切n∈N*都成立.1＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝用数学归纳法证明n2即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立。nN证明：1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］那么当n=k+1时（2）假设当n＝k时，等式成立，即（1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝k2＝+[2(k+1)－1］k2＝＋2k＋1k2＝（k+1）2（假设）（利用假设）注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。证明传递性（凑结论）数学归纳法步骤，用框图表示为：验证n=n0时命题成立。若n=k(k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。命题对从n0开始的所有的正整数n都成立。归纳奠基归纳递推注：两个步骤,一个结论,缺一不可证明：（1）当n=1时，,1a左边,011ada右边等式是成立的（2）假设当n=k时等式成立，就是,)1(1dkaak那么daakk1ddka])1([1　　这就是说，当n=k+1时，等式也成立由（1）和（2），可知等式对任何都成立Nndka]1)1[(1dnaan)1(1如果是等差数列，已知首项为公差为，那么}{na1ad对一切都成立Nn例2试用数学归纳法证明因此数学归纳法是一种科学的递推方法(1)是递推的基础(2)是递推的依据都成立。何对任时等式都成立，即等式，，，知道推下去，就时等式也成立，这样递），时等式成立，再根据（也成立。由于时等式），时等式成立，再根据（），：根据（上述结论是容易理解的Nnnnnnn65431222211211nn-1n1已知数列{a}为等为q,求证:通项：公式为a=aqnn-1练习比数列，公比（提示：a=qa）注意：1、用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两步同样重要，两步骤缺一不可.2、第二步证明，由假设n＝k时命题成立，到n=k+1时．必须用假设条件，否则不是数学归纳法。3、最后一定要写“由（1）（2）……”例3：用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝1(1)(2)3nnn从n=k到n=k+1有什么变化利用假设凑结论证明:2)假设n=k时命题成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝)2)(1(31kkk则当n=k+1时，)1(...433221kk)2)(1(kk)2)(1(31kkk+)2)(1(kk＝=)2)(1(kk)131(k∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。Nn=2111)1(31kkk1)当n=1时，左边=1×2=2,右边==2.命题成立1×1×2×33练习2用数学归纳法证明6)12)(1(3212222nnnn证明：（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，就是163216)12)(1(3212222kkkk那么61)1(21)1()1(6)32)(2)(1(6)672)(1(6)1(6)12)(1()1(6)12)(1()1(32122222222kkkkkkkkkkkkkkkkkkk这就是说，当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。思考1：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？解:设n＝k时成立，即这就是说，n＝k+1时也成立2+4+6+…+2k＝k2+k+1则当n=k+1时2+4+6+…+2k+2(k+1)＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1所以等式对任何n∈N*都成立事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3左边≠右边，等式不成立该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早证明：①当n=1时，左边＝,21右边＝,212111②假设n=k时，等式成立，,2112121212132kk＋＋＋＋那么n=k+1时1322121212121kk＋＋＋＋等式成立这就是说，当n=k+1时，等式也成立根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立即211])21(1[211k.2111k第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求思考2：下面是某同学用数学归纳法证明等式成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？（n∈N＊）nn2112121212132＋＋＋＋因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论:（1）证明当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时结论正确（2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论也正确（3）由（1）、（2）得出结论归纳小结作业：课本：P96A组B组