§2.4 差商与Newton插值公式

1第四节差商与Newton插值公式2©2009,HenanPolytechnicUniversity2§4差商与Newton插值公式第二章插值法优点:具有严格的规律性,便于记忆.缺点:不具有承袭性,即每当增加一个节点时,不仅要增加求和的项数,而且以前的各项也必须重新计算.为了克服这一缺点,本讲将建立具有承袭性的插值公式—Newton插值公式.本讲主要内容:●差商的定义及性质●Newton插值多项式的构造Lagrange插值多项式：3©2009,HenanPolytechnicUniversity3§4差商与Newton插值公式第二章插值法},,{110nxxx},,{10nxxx且nixfxNxNiinin,10,)()()(1，)()()(011nnnxxxxaxq同样)()()(10nnnxxxxaxq)()()(1xqxNxNnnn承袭性：)()()(11xqxNxNnnn1nP为实数4©2009,HenanPolytechnicUniversity4§4差商与Newton插值公式第二章插值法)()()()(10010nnnxxxxaxxaaxN而且有：)()()()()()())(()()()()()()()(1001021202202102101101000nnnnnnnnnnnxfxxxxaxxaaxNxfxxxxaxxaaxNxfxxaaxNxfaxN5©2009,HenanPolytechnicUniversity5§4差商与Newton插值公式第二章插值法这样：)(00xfa01011)()(xxxfxfa10202122)()(1axxxfxfxxa213103032331)()(1axxaxxxfxfxxa6©2009,HenanPolytechnicUniversity6§4差商与Newton插值公式第二章插值法2.4.1差商及其基本性质定义1称101010)()(],[xxxfxfxxf为f(x)在x0、x1点的一阶差商.110010],[],[],,[xxxxfxxfxxxfkkk称为函数f(x)在x0、x1、xk点的二阶差商.一阶差商的差商7©2009,HenanPolytechnicUniversity7§4差商与Newton插值公式第二章插值法一般地，k-1阶差商的差商11102010],,,[],,,[],,,[kkkkkkxxxxxfxxxfxxxf称为f(x)在x0,x1,…,xk点的k阶差商一般f(xi)称为f(x)在xi点的零阶差商，记作f[xi]。8©2009,HenanPolytechnicUniversity8§4差商与Newton插值公式第二章插值法f[xi,xj,xk]是指f[xi,xj,xk]=f[xi,xk]-f[xi,xj]xk-xj121020210],[],[],,[xxxxfxxfxxxf例如：一般的,可定义区间[xi,xi+1,…,xi+n]上的n阶差商为11121],...,,[],,...,[],...,,[nininiiininiiniiixxxxxfxxxfxxxf9©2009,HenanPolytechnicUniversity9§4差商与Newton插值公式第二章插值法nknkkkkkkknxxxxxxxxxfxxxf011010)())(()()(],,,[它表明差商与节点的排列次序无关，即f[x0,x1,x2,...,xn]=f[x1,x0,x2,...,xn]=…=f[x1,x2,...,xn,x0]性质1差商可以表示为函数值的线性组合，即称之为差商的对称性（也称为对称性质）。10©2009,HenanPolytechnicUniversity10§4差商与Newton插值公式第二章插值法性质2由性质1立刻得到001111],,,[],,,[xxxxxfxxxfnnnn011011],,,[],,,[xxxxxfxxxfnnnn],,,,,[],,,[012110nnnxxxxxfxxxf11©2009,HenanPolytechnicUniversity11§4差商与Newton插值公式第二章插值法性质3若f(x)在[a,b]上存在n阶导数,且节点x0,x1,…,xn∈[a,b],则至少存在一点[a,b]满足下式!)(],,,[)(10nfxxxfnn例1f(x)=－6x8+7x5－10,求f[1,2,…,9]及f[1,2,…,10].解f[1,2,…,9]=-6,nknkaxxfxPxfnkn,0,],,[),()(0推论：若f[1,2,…,10]=0.12©2009,HenanPolytechnicUniversity12§4差商与Newton插值公式第二章插值法一阶二阶n阶………)(,00xfx)(,11xfx)(,22xfx)(,nnxfx],[10xxf],[21xxf],[1nnxxf],,[210xxxf],,[12nnnxxxf],,[0nxxf差商表计算原则：任意一个k(k=1)阶差商的数值等于一个分式的值，分子为该数左侧的数减去左上侧的数之差，分母为同行最左侧的插值节点值减去这一行往上数第k个插值节点值之差。13©2009,HenanPolytechnicUniversity13§4差商与Newton插值公式第二章插值法)(00xfa],[)()(1001011xxfxxxfxfa],,[],[],[1)()(121001021210202122xxxfxxfxxfxxaxxxfxfxxa],,[0nnxxfa)()()()(10010nnnxxxxaxxaaxN2.4.2牛顿插值公式英1642-172714©2009,HenanPolytechnicUniversity14§4差商与Newton插值公式第二章插值法一阶二阶n阶………)(,00xfx)(,11xfx)(,22xfx)(,nnxfx],[10xxf],[21xxf],[1nnxxf],,[210xxxf],,[12nnnxxxf],,[0nxxf构造差商表15©2009,HenanPolytechnicUniversity15§4差商与Newton插值公式第二章插值法利用差商表的最外一行，构造Newton插值多项式)()](,,[)](,[)()(1000100nnnxxxxxxfxxxxfxfxN)()](,,[)()(1001nnnnxxxxxxfxNxN且有如下递推形式16©2009,HenanPolytechnicUniversity16§4差商与Newton插值公式第二章插值法设x是[a，b]上一点，由一阶差商定义得)](,[)()(000xxxxfxfxf同理，由二阶差商定义)](,,[],[],[110100xxxxxfxxfxxf如此继续下去，可得一系列等式000)()(],[xxxfxfxxf110010],[],[],,[xxxxfxxfxxxf得得牛顿插值公式推导二：17©2009,HenanPolytechnicUniversity17§4差商与Newton插值公式第二章插值法01010[,,,][,,,][,,,]()nnnnfxxxfxxxfxxxxx)](,[)()(000xxxxfxfxf)](,,[],[],[110100xxxxxfxxfxxf)](,,,[],,[],,[221021010xxxxxxfxxxfxxxf依次把后式代入前式，最后得00000100101001001201012012()()[,]()()[,]()[,,]()()()[,]()[,,]()()[,,,]()()()fxfxfxxxxfxfxxxxfxxxxxxxfxfxxxxfxxxxxxxfxxxxxxxxxx18©2009,HenanPolytechnicUniversity18§4差商与Newton插值公式第二章插值法)()](,,,[)()](,,[))(](,,[)](,[)(00100102100100nnnnxxxxxxxfxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxf()()()nnfxNxRx001001201001()()[,]()[,,]()()[,,]()()nnnNxfxfxxxxfxxxxxxxfxxxxxx001()[,,,]()()()nnnRxfxxxxxxxxxRn(x)称为牛顿型插值余项。19©2009,HenanPolytechnicUniversity19§4差商与Newton插值公式第二章插值法由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多项式是等价的,即Ln(x)Nn(x)的系数一样nxniniiiiiiinxxxxxxxxxfxxf01100)())(()()(],,[由此即得性质1。20©2009,HenanPolytechnicUniversity20§4差商与Newton插值公式第二章插值法余项公式)()](,,,,[)(010nnnxxxxxxxxfxR)()()!1()(0)1(nnxxxxnf由此即得性质3。)()](,,,,[)()](,,,,[)(01100101nnnnnnnxxxxxxxxfxxxxxxxxfxR21©2009,HenanPolytechnicUniversity21§4差商与Newton插值公式第二章插值法xkf(xk)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商五阶差商0.400.550.650.800.901.050.410750.578150.696750.888111.026521.25382例2已知f(x)=shx的数表,求4次牛顿插值多项式,并由此计算f(0.596)的近似值。解由上表可得过前5点的4次牛顿插值多项式为1.116001.515331.186001.275731.384100.433480.524930.280000.358930.228630.213000.197330.031340.03126-0.0001222©2009,HenanPolytechnicUniversity22§4差商与Newton插值公式第二章插值法63195.0)596.0()596.0(4Nf故)90.0)(80.0)(65.0)(55.0)(40.0(00012.0)(4xxxxxxR可得N4(x)的截断误差8410363.0)596.0(R)8.0)(65.0)(55.0)(40.0(03134.0)65.0)(55.0)(40.0(19733.0)55.0)(40.0(2800.0)40.0(1160.141075.0)(4xxxxxxxxxxxN