智爱高中数学 椭圆焦半径公式及应用

分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐Wisdom&Love第1页（共19页）2020年3月3日星期二智愛高中數學椭圆焦半径公式及应用在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。思路1：由椭圆的定义有：rra1221故只要设法用xac0、、等表示出rr12（或rr12·），问题就可迎刃而解。由题意知rxcy120202，rxcy220202两式相减得rrrrcx121204rrcxrrcxaex120120044222联立1、2解得：raexraex1020，点评：在raex10与raex20中，ex0前的符号不表示正、负，真正的正、负由x0确定。思路2：设焦点FaeFae1200，、，则rra122，即xaeyxaeya0202020221另有xaeyxaeyaex020202020422÷1得：xaeyxaeyex020202020231、3联立解得：xaeyraex020210xaeyraex020220点评：把1、3两式左边的两个根式看成两个未知数，构建方程组得解。思路3：推敲rxcyaex102020的沟通渠道，应从消除差异做起，根式中y02理应代换。分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐Wisdom&Love第2页（共19页）2020年3月3日星期二由点M在椭圆上，易知ybxa0220221则rxcxcbbax1020222202212220202baxacaxa·exaexa02022由010eaxa，，知exa00故raex10同理raex20点评：上述思路体现了先消元()y02转换成关于x0的二次三项式，再化成完全平方式的思想。由a、e是常数与axa0，容易推出rac1(max)（xa0时取得），rac1(min)（xa0时取得）。思路4：椭圆的第二定义为求焦半径r1铺设了沟通的桥梁。如图，作椭圆的左准线l，作MH⊥l于H点则MFMHe1即rMFMHexaceaex11020··同理可求得：raex20点评：应用椭圆的第二定义求焦半径的优越性是将两点MF、1的距离等价转化成平行于x轴的直线上点M、H的距离轻松得解，是上述四条思路中的最佳途径。请你独立探求焦点在y轴上的椭圆yaxbab222210上任一点Mxy00，分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐Wisdom&Love第3页（共19页）2020年3月3日星期二的两条焦半径（aey0）。一、椭圆焦半径公式P是椭圆xayb2222＝1()ab0上一点，E、F是左、右焦点，e是椭圆的离心率，则（1）||PEaexP，（2）||PFaexP。P是椭圆yaxbab222210()上一点，E、F是上、下焦点，e是椭圆的离心率，则（3）PEaeyPFaeyPP，()||4。以上结论由椭圆的第二定义及第一定义和椭圆的方程易得。（一）用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式例1已知点P（x，y）是椭圆12222byax上任意一点，F1（-c,0）和F2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：|PF1|=a+xac；|PF2|=a-xac.【分析】可用距离公式先将|PF1|和|PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y”即可.【解答】由两点间距离公式，可知|PF1|=22)(ycx(1)从椭圆方程12222byax解出)(22222xaaby(2)代（2）于（1）并化简，得|PF1|=xaca(-a≤x≤a)同理有|PF2|=xaca(-a≤x≤a)【说明】通过例1，得出了椭圆的焦半径公式r1=a+exr2=a-ex(e=ac)从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P（x,y）横坐标的一次函数.r1是x的增函数，r2是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y轴，关于原点）.（二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐Wisdom&Love第4页（共19页）2020年3月3日星期二式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.例2．P(x,y)是平面上的一点，P到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离的和为2a（ac0）.试用x，y的解析式来表示r1=|PF1|和r2=|PF2|.【分析】问题是求r1=f（x）和r2=g（x）.先可视x为参数列出关于r1和r2的方程组，然后从中得出r1和r2.【解答】依题意，有方程组③)(②)(①　　22222222121　　　　　　ycxr　　　　　　ycxrarr②-③得④42221cxrr代①于④并整理得r1-r2=xac2⑤联立①，⑤得xacarxacar21【说明】椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c而无b，其基础性显然.二、焦半径公式与准线的关系用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.如图右，点P（x，y）是以F1（-c,0）为焦点，以l1：x=-ca2为准线的椭圆上任意一点.PD⊥l1于D.按椭圆的第二定义，则有exacaxePDePFePDPF)(||||||||2即r1=a+ex,同理有r2=a-ex.椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线cax2缺乏定义的“客观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.例3．P（x，y）是以F1（-c，0），F2（c，0）为焦点，以距离之和为2a的椭分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐Wisdom&Love第5页（共19页）2020年3月3日星期二圆上任意一点.直线l为x=-ca2，PD1⊥l交l于D1.求证：ePDPF||||11.【解答】由椭圆的焦半径公式|PF1|=a+ex.对|PD1|用距离公式|PD1|=x-)(2ca=x+ca2.故有ecaxcaxecaxexaPDPF22211)(||||.【说明】此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F1（-c,0）（F2（c,0））与定直线l1:x=-ca2(l2：x=ca2)的距离之比为定值e（0e1）.三、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根）.其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.例4．设点P（x，y）适合方程12222byax.求证：点P（x，y）到两定点F1（-c,0）和F2（c，0）的距离之和为2a（c2=a2-b2）.【分析】这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果.【解答】P（x，y）到F1（-c,0）的距离设作r1=|PF1|.由椭圆的焦点半径公式可知r1=a+ex①同理还有r2=a-ex②①+②得r1+r2=2a即|PF1|+|PF2|=2a.即P（x，y）到两定点F1（-c，0）和F2（c,0）的距离之和为2a.【说明】椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.因此，围绕着椭圆焦半径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便.四、椭圆焦半径公式的变式分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐Wisdom&Love第6页（共19页）2020年3月3日星期二P是椭圆xaybab222210()上一点，E、F是左、右焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，则（1）||cosPEbac2；（2）||cosPFbac2。P是椭圆yaxbab222210()上一点，E、F是上、下焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，则（3）||sinPEbac2；（4）||sinPFbac2。证明：（1）设P在x轴上的射影为Q，当不大于90°时，在三角形PEQ中，有cos||||||PQPExcPEP由椭圆焦半径公式（1）得||PEaexP。消去xP后，化简即得（1）||cosPEbac2。而当大于90°时，在三角形PEQ中，有cos()||||||PQPEcxPEPcos||xcPEP，以下与上述相同。（2）、（3）、（4）的证明与（1）相仿，从略。五、变式的应用对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。例5.P是椭圆xaybab222210()上一点，E、F是左右焦点，过P作x轴的垂线恰好通过焦点F，若三角形PEF是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐Wisdom&Love第7页（共19页）2020年3月3日星期二___________。解：因为PF⊥EF，所以由（2）式得||cosPFbacba2290°。再由题意得||||EFPFcbaacaccacae2220222222＋210e。注意到0121ee解得。例6.P是椭圆xy22100641上且位于x轴上方的一点，E，F是左右焦点，直线PF的斜率为43，求三角形PEF的面积。解：设PF的倾斜角为，则：tancossin4317437，，。因为a＝10，b＝8，c＝6，由变式（2）得||()PF81061772×所以三角形PEF的面积SPFEF1212726437243||||sin××××例7．经过椭圆xaybab222210()的左焦点F1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A，B两点，若||||AFBF112，求椭圆的离心率。解：由题意及变式（2）得bacba2260260180coscos()°×°°分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐Wisdom&Love第8页（共19页）2020年3月3日星期二化简得2123223acaccaeca。例8．设F是椭圆xy2221的上焦点，PFFQ与共线，MFFN与共线，且PFMF·＝0。求四边形PMQN面积的最大值和最小值。解：设PF倾斜角为，则由题意知PF⊥MF，所以MF倾斜角为90°＋α，而abc211，，，由题意及（3）式得||||||sinsin()sinPQPFFQ12121802222°同理得||cosMN2222。由题意知四边形PMQN面积SPQMN12||||122222224216841682321742222222··sincossincossincossincos所以当cos41时，Smax321712；当cos41时，Smin()32171＝169。四、利用焦半径公式解椭圆题分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐Wisdom&Love第9页（共19页）2020年3月3日星期二椭圆的焦半径公式：设P(x0，y0)是椭圆上的任意一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，对于椭圆22ax+22by=1(a＞b＞0)而言，有|PF1|=a＋0ex，|PF2|=a－0ex．在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题，用焦半径公式解题可以简化运算过程