抛物线专题复习讲义及练习

１抛物线专题复习讲义及练习★知识梳理★1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质(0p)：标准方程pxy22pxy22pyx22pyx22图形▲yxO▲yxO▲yxO▲yxO焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线2px2px2py2py范围Ryx,0Ryx,00,yRx0,yRx对称轴x轴y轴顶点（0，0）离心率1e2.抛物线的焦半径、焦点弦①)0(22ppxy的焦半径PF2Px;)0(22ppyx的焦半径PF2Py；②过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.③AB为抛物线pxy22的焦点弦，则BAxx42p，BAyy2p，||AB=pxxBA3.pxy22的参数方程为ptyptx222（t为参数），pyx22的参数方程为222ptyptx（t为参数）.★重难点突破★重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质难点:与焦点有关的计算与论证重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质1.要有用定义的意识问题1：抛物线y=42x上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()２A.1617B.1615C.87D.0点拨：抛物线的标准方程为yx412，准线方程为161y,由定义知，点M到准线的距离为1，所以点M的纵坐标是16152.求标准方程要注意焦点位置和开口方向问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路”问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切点拨：设AB为抛物线的焦点弦，F为抛物线的焦点，点''、BA分别是点BA、在准线上的射影，弦AB的中点为M，则''BBAABFAFAB，点M到准线的距离为ABBBAA21)''(21，以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切★热点考点题型探析★考点1抛物线的定义题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换[例1]已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为【解题思路】将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离[解析]过点P作准线的垂线l交准线于点R，由抛物线的定义知，PRPQPFPQ，当P点为抛物线与垂线l的交点时，PRPQ取得最小值，最小值为点Q到准线的距离,因准线方程为x=-1,故最小值为3【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关【新题导练】1.已知抛物线22(0)ypxp的焦点为F，点111222()()PxyPxy，，，，333()Pxy，在抛物线上，且||1FP、||2FP、||3FP成等差数列，则有（）A．321xxxB．321yyyC．2312xxxD.2312yyy３［解析］C由抛物线定义，2132()()(),222pppxxx即：2312xxx．2.已知点),4,3(AF是抛物线xy82的焦点,M是抛物线上的动点,当MFMA最小时,M点坐标是()A.)0,0(B.)62,3(C.)4,2(D.)62,3([解析]设M到准线的距离为MK,则MKMAMFMA|||，当MKMA最小时，M点坐标是)4,2(，选C考点2抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程[例2]求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2)(2)焦点在直线240xy上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.[解析](1)设所求的抛物线的方程为22ypx或22(0)xpyp,∵过点(-3,2)∴229)3(24pp或∴2934pp或∴抛物线方程为243yx或292xy,前者的准线方程是1,3x后者的准线方程为98y(2)令0x得2y，令0y得4x，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,42p,∴8p，此时抛物线方程216yx;焦点为(0,-2)时22p∴4p，此时抛物线方程28xy.∴所求抛物线方程为216yx或28xy,对应的准线方程分别是4,2xy.【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面【新题导练】3.若抛物线22ypx的焦点与双曲线2213xy的右焦点重合,则p的值４[解析]4132pp4.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）[解析]用排除法，由抛物线方程y2=10x可排除①③④，从而②⑤满足条件.5.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且3||,17||AFAM，求此抛物线的方程[解析]设点'A是点A在准线上的射影，则3|'|AA，由勾股定理知22|'|MA，点A的横坐标为)23,22(p，代入方程pyx22得2p或4，抛物线的方程yx42或yx82考点3抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证[例3]设A、B为抛物线pxy22上的点,且90AOB(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为__________.【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置［解析］设直线OA方程为kxy,由pxykxy22解出A点坐标为)2,2(2kpkppxyxky212解出B点坐标为)2,2(2pkpk，直线AB方程为221)2(2kpkxkpky,令0y得px2，直线AB必过的定点)0,2(p【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB,求交点即可；（2）B点坐标可由A点坐标用k1换k而得。【新题导练】6.若直线10axy经过抛物线24yx的焦点，则实数a[解析]-17.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为11,BA,５则11FBA()A.45B.60C.90D.120[解析]C基础巩固训练1.过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于)(422Raaa，则这样的直线（）A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.1条或2条D.不存在[解析]C44)1(52||22aaapxxABBA，而通径的长为4．2.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线24xy上的点P到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为（）A.3B.4C.5D.6[解析]B利用抛物线的定义，点P到准线1y的距离为5，故点P的纵坐标为4．3.两个正数a、b的等差中项是92，一个等比中项是25，且,ba则抛物线2()ybax的焦点坐标为()A．1(0,)4B．1(0,)4C．1(,0)2D．1(,0)4[解析]D.1,4,5abba4.如果1P，2P，…，8P是抛物线24yx上的点，它们的横坐标依次为1x，2x，…，8x，F是抛物线的焦点，若)(,,,21Nnxxxn成等差数列且45921xxx，则||5FP=（）．A．5B．6C．7D．9[解析]B根据抛物线的定义，可知12iiipPFxx（1i，2，……，n），)(,,,21Nnxxxn成等差数列且45921xxx,55x,||5FP=65、抛物线,42Fxy的焦点为准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（）A．33B．34C．36D．38[解析]C.过A作x轴的垂线交x轴于点H，设),(nmA，则1,1mOFOHFHmABAF，32,3)1(21nmmm６四边形ABEF的面积=32)]13(2[21366、设O是坐标原点，F是抛物线24yx的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60，则OA为．[解析]21.过A作ADx轴于D，令FDm，则mFA2即mm22，解得2m．)32,3(A21)32(322OA综合提高训练7.在抛物线24yx上求一点，使该点到直线45yx的距离为最短，求该点的坐标[解析]解法1：设抛物线上的点)4,(2xxP，点P到直线的距离17|544|2xxd1717417|4)21(4|2x，当且仅当21x时取等号，故所求的点为），（121解法2：当平行于直线45yx且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为bxy4，代入抛物线方程得0442bxx，由01616b得21,1xb，故所求的点为），（1218.已知抛物线2:axyC（a为非零常数）的焦点为F，点P为抛物线c上一个动点，过点P且与抛物线c相切的直线记为l．（1）求F的坐标；（2）当点P在何处时，点F到直线l的距离最小？解：（1）抛物线方程为yax12故焦点F的坐标为)41,0(a（2）设20000),(axyyxP则2,2'0axkPaxy）的切线的斜率点处抛物线（二次函数在直线l的方程是)(20020xxaxaxy02200axyxax－即７.411441)1()2(41020222020axaaaxaxad)0,0(00的坐标是此时时上式取“＝”当且仅当Px.LF0,0)(P的距离最小到切线处时，焦点在当9.设抛物线22ypx（0p）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点．点C在抛物线的准线上，且BC∥X轴．证明直线AC经过原点O．证明:因为抛物线22ypx（0p）的焦点为,02pF，所以经过点F的直线AB的方程可设为2pxmy，代人抛物线方程得2220ypmyp．若记11,Axy，22,Bxy，则21,yy是该方程的两个根，所以212yyp．因为BC∥X轴，且点C在准线2px上，所以点C的坐标为2,2py，故直线CO的斜率为21112.2yypkpyx即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．10.椭圆12222byax上有一点M（-4，59）在抛物线pxy22（p0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.（1）求椭圆方程；（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值.解：（1）∵12222byax上的点M在抛物线pxy22（p0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.∴c=-4，p=8……①８∵M（-4，59）在椭圆上∴125811622ba……②∵222cba……③∴由①②③解得：a=5、b=3∴椭圆为192522yx由p=8得抛物线为xy162设椭圆焦点为F（4，0），由椭圆定义得|NQ|=|NF|∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF|=541)059()44(22，即为所求的最小值.参考例题：1、已知抛物线C的一个焦点为F（21，0），对应于这个焦点的准线方程为x=-21.（1）写出抛物线C的方程；（2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求△AOB重心G的轨迹方程；（3）点P是抛物线C上的动点，过点P作圆（x-3）2+y2=2的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN