1平面向量的数量积的物理背景及其含义

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义目标导学：1、能运用数量积表示两个向量的夹角，计算向量的长度；2、会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。向量的夹角：已知两个非零向量和，作，，abOAaOBb则∠AOB=θ(0º≤θ≤180º)叫做向量与的夹角.ababθOabAB当θ=0º时，与同向；ab当θ=180º时，与反向；ab当θ=90º时，与垂直，记作。ababababab问题θsF一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？其中力F和位移s是向量，是F与s的夹角，而功是数量.|s||F|Wcos平面向量的数量积：已知非零向量与，我们把数量叫作与的数量积（或内积），记作，即规定||||cosabababab||||cosabab其中θ是与的夹角，叫做向量在方向上（在方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量的数量积为零，即。ab||cos(||cos)bababa00aθBB1OAab1||||cosOBb数量积的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。aba||aba||cosbθBB1OAab思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负呢？由向量数量积的定义，试完成下面问题：_______.___________________.(3)||____||||.()ababababababaaabab；反；若与同向,若与向,填或(1)(2)注：常记为。aa2a||aaa0||||ab||||ab2||a≤22()||aa证明向量垂直的依据例1.已知，的夹角θ=120º，求。||5,||4abab与ab解：||||cos54cos120154()210=abab;()()();().abbaababababcacbc(1)(2)(3)数量积的运算规律：121A1BABOabCc2B1||||cos||cosOBOBab11||||cosOAa1122||||||cosABABb如图可知：111112||||||||cos||cos||cosOBOAABabab12()||||cos||||cos||||coscabcabcacbcacb()abcacbc()abcacbc;()()();().abbaababababcacbc(1)(2)(3)思考：等式是否成立？()()abcabc数量积的运算规律：不成立1、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号确定；2、两个向量的数量积称为内积，写成a·b;与代数中的数a·b不同，书写时要严格区分；3、在实数中，若a≠0，且a·b=0,则b=0；但在数量积中，若a≠0，且a·b=0,不能推出b=0。因为其中cosθ有可能为04、已知实数a、b、c（b≠0)，则有ab=bc得a=c.但是有a·b=b·c不能得a=c5、在实数中（a·b)c=a(b·c),但（a·b)c≠a(b·c),要注意的是：例2.我们知道，对任意，恒有,abR22222()2,()().abaabbababab对任意向量是否也有下面类似的结论？,,ab22222()2;()().abaabbababab(1)(2)33223(3)()()3()3()()abaababb例3.已知，的夹角60º，求。||6,||4abab与(2)(3),||ababab例4.已知，且与不共线，k为何值时，向量与互相垂直。||3,||4abaakbbakb小结向量数量积计算时,一要算准向量的模,二要找准两个向量的夹角。练习：P1061、2、3课后练习：P1081~4