抛物线及其标准方程

生活中的抛物线美丽的赵州桥夜色下的喷泉绚烂的烟花我们知道，二次函数的图象是一条抛物线，而且还研究过它的顶点坐标、对称轴等问题。那么，抛物线到底有怎样的几何特征？它还有哪些几何性质？)0(2acbxaxy几何画板演示M·Fl·H平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点,准线焦点一、抛物线的定义:那么如何建立坐标系,使抛物线的方程更简单,其标准方程形式怎样?直线l叫抛物线的准线d即:若1MFd,则点M的轨迹是抛物线.求曲线方程的基本步骤：建系设点列式化简检验♦探讨建立平面直角坐标系的方案.M.xyOFl.M.xyOFl..MxyF(0)l方案(1)方案(2)方案(3)问题：哪种方案的方程更简单呢？l以过F且垂直于l的直线为x轴,垂足为K.以F、K的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xoy.xKyoM(x,y)二、标准方程的推导化简得：22(0)ypxpFHp22()||22ppxyx由抛物线的定义得：MHMFpFKyx,,M）（设则点）（0,2Fp直线2:pxl三、抛物线的标准方程xyodpFl·M把方程叫做抛物线的标准方程.其中为正常数,表示焦点在轴正半轴上.22(0)ypxpPx焦点坐标：准线方程：(,0)2p2px正常数p的几何意义是焦点到准线的距离你能否分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程？思考：﹒yxo(1)﹒yxo(2)﹒yxo(3)﹒yxo(4)四、四种抛物线的对比图形yxoFlyxoFlyxoFlyxoFly22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦点坐标准线方程标准方程P：焦点到准线的距离方程特征：（1）等号左边是系数为1的二次项，（2）右边是一次项.决定了焦点的位置。0,2p2px0,2p20p，20p，2px2py2py回忆初中所学，你对抛物线已有了哪些认识？你能说明二次函数的图象为什么是一条抛物线吗？指出它的顶点坐标、准线方程。)0(2aaxy)0(2aaxyyax12pa21都有：还是不管00aa焦点坐标：准线方程：a410，ay41（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求抛物线的标准方程（3）已知抛物线的准线方程为x=1，求抛物线的标准方程（4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程（1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标及准线方程xy62），（023F焦点23x准线方程：yx82xy42yxy29x3422或例1课堂练习1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）（2）准线方程是x=（3）焦点到准线的距离是22、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2=20x(2)x2=y(3)2y2+5x=0(4)x2+8y=012焦点坐标准线方程(1)(2)(3)(4)（5，0）x=-5（0，—）18y=-—188x=—5（-—，0）58（0，-2）y=241(3)(4)一定要先把方程化为标准方程,再求焦点坐标和准线方程xy122xy2xxxxy4x4x4y42222或或或4,x2解：由抛物线方程y知1.x准线方程为p又点p的横坐标为4,所以到准线的距离为5.5.PF由抛物线的定义知xyF1,01xPN.4PPF,4.22PFxy，求的横坐标为且点为抛物线上一点，的焦点为已知抛物线例4,x2解：由抛物线方程y知1.x准线方程为6,PF因为由抛物线定义知6.点P到准线的距离也为5.P所以点的横坐标为25.P代入得点的纵坐标为525.P所以点的坐标为，xyF1,01xP,xyN点的坐标。求若为抛物线上一点，，的焦点为练习：已知抛物线PPFPFxy,642例3点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.xyoF(4,0)Mx+5=0解:由已知条件可知,点M到点F的距离等于它到直线x=-4的距离,根据抛物线的定义,点M的轨迹是以点F(4,0)为焦点的抛物线.∵p/2=4,∴p=8.又因为焦点在轴的正半轴,所以点M的轨迹方程为y2=16x.4x.0)y)(xM(x,101FM的轨迹方程，求点距离多轴的）的距离比它到，（到点，点练习：在直角坐标系中yxy42例4、已知M为抛物线上一动点，F为抛物线的焦点，定点P(3,1),则的最小值多少？并求出取得最小值时M点的坐标。MFMPxy42.)0,1(F3xM.N.M.P有最小值三点共线时，、、当MFMPNMP的距离到准线最小值为点1Px4的最小值为即MFMPMNMF由抛物线的定义得)1,41(M此时练习:已知M为抛物线上一动点，F为抛物线的焦点，定点P(4,5),则点M到准线的距离d与点M到点P距离之和的最小值多少？xy4234PF最小值为4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向．1.抛物线的定义;2.抛物线的标准方程有四种不同的形式,每一对焦点和准线对应一种形式;3.p的几何意义是:焦点到准线的距离;课堂小结64页习题1、2、3求抛物线y=4ax的焦点坐标和准线方程。2