抛物线定义及性质

抛物线定义及性质平面内到一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。一、定义oLF注：如果定点F在定直线l上，所求的轨迹是？▲定点F叫做抛物线的焦点。▲定直线l叫做抛物线的准线过定点F垂直于直线l的一条直线x1.平面上到定点(1,1)A和到定直线:23lxy距离相等的点的轨迹为()(A)直线(B)抛物线(C)双曲线(D)椭圆A求标准方程··FMlN如何建立直角坐标系？想一想设︱KF︱=p则F（，0），l：x=-p2p2设动点M的坐标为（x，y），由定义可知，2)2(22pxypx化简得y2=2px（p＞0）xyo··FMlNK过F做直线FK垂直于直线l，垂足为K。以直线KF为x轴，线段KF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy。方程y2=2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程。其中p为正常数，它的几何意义是:焦点到准线的距离,0,,22ppFx其中焦点准线方程为开口向右yxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒图形焦点准线标准方程二、抛物线的性质抛物线的几何性质：pxy22(p＞0)它在轴的右边，向右上方和右下方无限伸展。1、抛物线的范围2、抛物线的对称性：y关于轴对称这条对称轴叫抛物线的轴x注意：抛物线只有一条对称轴；没有对称中心.2pxF)0,2(pOxy3、抛物线的顶点：抛物线和轴的交点。原点O（0，0）4、抛物线的离心率y2=2px离心率都是1图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px2px2py2pyx≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴12、通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔3、焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：),(00yx下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式。例1求下列抛物线的焦点坐标和准线.24yx1、2、24xy练习1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：2(1)20;yx2(2)2;yx2(3)250;yx2(4)160.xy(5,0),5x11(0,),88y55(,0),88x(0,4),4y.例2根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)焦点是F(0,-2)；(2)准线方程是；1y(3)焦点到准线的距离是2.28xy24xy22224,4,4,4yxyxxyxy(2)抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是___________；212yx例3(1)抛物线22ypx上一点M到焦点的距离是()2paa,则点M到准线的距离是________,点M的横坐标是_____.a2pa(6,62)如图,M点是抛物线上一点,F是抛物线的焦点,以Fx为始边,FM为终边的角,求.24yx60oxFMFMMFOxy练习242．(2015·陕西文)已知抛物线y2＝2px(p0)的准线经过点(－1，1)，则抛物线焦点坐标为()A．(－1，0)B．(1，0)C．(0，－1)D．(0，1)答案B解析因为抛物线的准线方程为x＝－p2＝－1，∴p2＝1，∴焦点坐标为(1，0)，故选B.3．(2014·安徽文)抛物线y＝14x2的准线方程是()A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－2答案A解析抛物线y＝14x2的标准方程为x2＝4y，所以其准线方程为y＝－1.4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．答案6例4.点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.M(x,y)yxF(4,0)-5分析：如图可知原条件等价于M点到F（4，0）和到x＝－4距离相等，-4由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x＝－4为准线的抛物线．所求方程是y2＝16x．题型一抛物线定义的应用例1(1)动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线【解析】设动圆的圆心为C，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于动圆的半径r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆到直线x＝2距离为r＋1，根据抛物线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线，所以答案为D.【答案】D(2)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点D到y轴的距离为()A.34B.1C.54D.74【解析】因为抛物线y2＝x的准线方程为x＝－14.如图所示，过点A，B，D分别作直线x＝－14的垂线，垂足分别为G，E，M，因为|AF|＋|BF|＝3，根据抛物线的定义，|AG|＝|AF|，|BE|＝|BF|，所以|AG|＋|BE|＝3，所以|MD|＝|BE|＋|AG|2＝32，所以线段AB的中点到y轴的距离为32－14＝54，故选C.【答案】C探究1“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．思考题1(1)平面内满足：（x－1）2＋（y－1）2＝|x＋y－2|2的动点(x，y)的轨迹是________．【解析】∵点(1，1)在直线x＋y－2＝0上，∴轨迹是过点(1，1)且斜率为1的直线．【答案】直线(2)在抛物线y2＝4x上找一点M，使|MA|＋|MF|最小，其中A(3，2)，F(1，0)，求M点的坐标及此时的最小值．【解析】如图点A在抛物线y2＝4x的内部，由抛物线的定义可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，其中|MH|为M到抛物线的准线的距离．过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝4，当且仅当点M在M1的位置时等号成立．此时M1点的坐标为(1，2)．【答案】M(1，2)，最小值为4题型二求抛物线的标准方程例2(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－xB．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y【解析】若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，将点P(－4，－2)的坐标代入，得a＝－1，所以抛物线的标准方程y2＝－x；若焦点在y轴上，设方程为x2＝by，将点P(－4，－2)的坐标代入，得b＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故所求抛物线的标准方程是y2＝－x或x2＝－8y.【答案】D(2)已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上点P(－3，m)到焦点的距离为5，则抛物线方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x【解析】依题意得，p2－(－3)＝5，∴p＝4.∴抛物线方程为y2＝－8x.【答案】B(3)如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为()A．y2＝32xB．y2＝3xC．y2＝92xD．y2＝9x【解析】如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°.在直角三角形ACE中，∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，∴3＋3a＝6，从而得a＝1.∵BD∥FG，∴|BD||FG|=|BC||FC|,即1p＝23，求得p＝32，因此抛物线的方程为y2＝3x.【答案】B探究2求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外，还可以利用统一方程法，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定，也就是说，不必设为y2＝2px或y2＝－2px(p0)，这样能减少计算量，同理，焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)．思考题2试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(－3，2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．【解析】(1)设所求抛物线的方程y2＝－2px(p0)或x2＝2py(p0)．∵过点(－3，2)，∴4＝－2p(－3)或9＝2p·2.∴p＝23或p＝94.∴所求抛物线的标准方程为y2＝－43x或x2＝92y，对应的准线方程分别是x＝13，y＝－98.(2)令x＝0，得y＝－2，令y＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．当焦点为(4，0)时，p2＝4，∴p＝8，此时抛物线方程为y2＝16x；当焦点为(0，－2)时，p2＝2，∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y.∴所求的抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y，对应的准线方程分别是x＝－4，y＝2.【答案】(1)y2＝－43x或x2＝92y对应的准线方程分别是x＝13，y＝－98(2)y2＝16x或x2＝－8y对应的准线方程分别是x＝－4，y＝2题型三抛物线的几何性质例3(1)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP→＝4FQ→，则|QF|＝()A.72B.52C．3D．2【解析】利用FP→＝4FQ→转化长度关系，再利用抛物线定义求解．∵FP→＝4FQ→，∴|PQ||PF|＝34.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，∴|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝34.∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故选C.【答案】C(2)已知抛物线y2＝2px(p0)的准线与曲线x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为()A．2B．1C.12D.14【解析】注意到抛物线y2＝2px的准线方程是x＝－p2，曲线x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16是圆心为(3，0)，半径为4的圆，于是依题意有|p2＋3|＝4.因为p0，所以有p2＋3＝4，解得p＝2，故选A.【答案】A探究3在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．思考题3(1)已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是()A.3B.5C．2D.5－1【解析】由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为|2＋3|22＋（－1）2＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.【答案】D(2)过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，交准线于C点，若CB→＝3BF→，则直线l斜率为________．【解析】作BB1垂直于准线，B1为垂足，由抛物线定义可知，|BB1|＝|BF|，∴|BC|＝3|BB1|.在Rt△B1BC中，tan∠B1BC＝22.∴tanα＝22(α为倾斜角)．由对称性可知，斜率还可等于－22.∴斜率为±22.【答案】±22题型四抛物线的切线例4(2016·湖北襄阳联考)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P是抛物线C上异于原点的任一点，直线PF与抛物线的另一交点为Q.设l是过点P的抛物线C的切线，l与直线y＝－1，x轴的交点分别为A，B.(1)求证：AF⊥PQ；(2)过B作BC⊥PQ于C，若|PC|＝|QF|，求|PQ|.【解析】(1)设P(m，m24)，由x2＝4y，得y＝14x2.∴y′＝12x.则过点P的切线方程为y＝m2x－m24，得