2014高考调研理科数学课本讲解_3-4 定积分与微积分基本定理

课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研第4课时定积分与微积分基本定理课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研2013•考纲下载1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研请注意！作为新教材新增内容，为必考内容，多以选择填空题形式考查，主要借助微积分基本定理求定积分或解决几何或物理知识.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研1．定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个区间[xi－1，xi]上取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式＝，当n→＋∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上定积分，记作，即.abf(x)dx课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研其定义体现求定积分的四个步骤：①；②；③；④．近似代替分割取和取极限课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研2．定积分运算律(1)abkf(x)dx＝k；(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝；(3)abf(x)dx＝．abf(x)dxabf1(x)dx±abf2(x)dxacf(x)dx＋cbf(x)dx(acb)课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么，这个结论叫做微积分基本定理．abf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研4．定积分的几何和物理应用(1)①如图，由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)(不妨设f1(x)≥f2(x)≥0)及直线x＝a，x＝b(ab)围成图形的面积为：S＝abf1(x)dx－abf2(x)dx课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研②如图，在区间[a，b]上，f(x)≤0，则曲边梯形的面积为：S＝|abf(x)dx|＝－abf(x)dx课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝.abu(t)dt课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研(3)如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(ab)，那么变力F(x)所做的功W＝abF(x)dx.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研1．(2012·江西)计算定积分＝________.答案23解析＝x33－cosx1－1＝13－cos1－－13－cos1＝23.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研2．(2012·湖北)已知二次函数y＝f(x)的图像如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()A.2π5B.43C.32D.π2课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研答案B解析由题意知二次函数f(x)＝－x2＋1，它与x轴所围图形的面积为＝2－13x3＋x10＝2×－13＋1＝43.故选B.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研3．(2012·山东)设a0，若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.答案49解析由题意.又.即，∴a＝49.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研4．(2013·湖北八校)曲线y＝sinx，y＝cosx和直线x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为()答案D课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研5．一个弹簧压缩xcm产生4xN的力，那么将它从自然长度压缩0.05cm所做的功是()A．50JB．0.5JC．500JD．5J答案B课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研例1计算以下定积分：(1)12(2x2－1x)dx；(2)23(x＋1x)2dx；(3);(4)12|3－2x|dx；(5)011－x2dx.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】(1)函数y＝2x2－1x的一个原函数是y＝23x3－lnx，所以12(2x2－1x)dx＝＝163－ln2－23＝143－ln2.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)23(x＋1x)2dx＝23(x＋1x＋2)dx＝＝(92＋ln3＋6)－(2＋ln2＋4)＝ln32＋92.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研(3)函数y＝sinx－sin2x的一个原函数是y＝－cosx＋12cos2x，所以＝＝(－12－14)－(－1＋12)＝－14.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研(4)12|3－2x|dx＝＝＝.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研(5)y＝1－x2，∴x2＋y2＝1，y≥0.∴011－x2dx几何意义为14个圆的面积．∴011－x2dx＝14π.【答案】(1)143－ln2(2)ln32＋92(3)－14(4)12(5)π4课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研探究1(1)求定积分借助微积分基本定理，关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握一些常用函数的导数．此外，如果被积函数是绝对值函数与分段函数，那么可以利用定积分的性质abf(x)dx＝acf(x)dx＋cbf(x)dx，根据函数的定义域，将积分区间分解为若干部分，代入相应的解析式，分别求出积分值，相加即可．(2)对于不便求出被积函数的原函数的，可考虑用定积分的几何意义求解．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研思考题1求下列积分．(1)12(x2＋2x＋1)dx；；(3)01(1－x－12－x)dx.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】(1)12(x2＋2x＋1)dx＝12x2dx＋122xdx＋121dx＝＝193.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研(3)本题由于方程过于复杂，因而可采用定积分的几何意义表示，而后计算更为简便01(1－x－12－x)dx＝011－x－12dx－01xdx.011－x－12dx表示圆(x－1)2＋y2＝1与x＝0，x＝1，y＝0围成的图形的面积S1＝π4.01xdx表示y＝x与x＝0，x＝1，y＝0围成的图形面积S2＝12.∴S＝S1－S2＝π－24.【答案】(1)193(2)1－1eπ(3)π－24课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研例2求由曲线y＝x2和直线y＝x和y＝2x围成的图形的面积．【解析】方法一如图(1)所示，所求的面积S＝S△AOC＋S1，其中S1是线段AC、BC和抛物线段AB围成的区域的面积．由y＝x2，y＝x和y＝x2，y＝2x分别解出O、A、B三点的横坐标分别是0、1、2.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研因为(x22)′＝x，(x2－x33)′＝2x－x2，故所求的面积S＝01(2x－x)dx＋12(2x－x2)dx＝＝12－0＋(4－83)－(1－13)＝76.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研方法二如图(1)所示，所求的面积可以写成S＝S△OBD－S2，其中S2是由线段BD、AD及抛物线段AB所围成的区域的面积．由于D的横坐标也是2，又(x22)′＝x，(x33－x22)′＝x2－x.故S＝02(2x－x)dx－12(x2－x)dx＝＝2－(83－2)＋(13－12)＝76.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研方法三如图(2)，把整个区域上定积分问题，转化成y是自变量的情况．由方法一知O、A、B三点的纵坐标分别是0、1、4，故所求的面积S＝S△AEO＋S3，其中S3是两线段BE、AE和抛物线段AB围成的区域的面积．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研因为(14y2)′＝y2，(－y24)′＝y－y2，故S＝01(y－y2)dy＋14(y－y2)dy＝＝76.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研探究2(1)求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤为：①画草图；②求曲线的交点定出积分上、下限；③确定被积函数，但要保证求出的面积是非负的；④写出定积分并计算，用微积分基本定理公式计算时，要认真、细致，按步骤来做，不要急于求成，以保证答案的准确性．(2)被积函数较复杂或积分区间不易确定有时可通过转换积分变量进行简化计算．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研思考题2(1)(2012·上海)已知函数y＝f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)，B12，5，C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为______．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】由已知可得f(x)＝10x，x∈0，12，－10x＋10，x∈12，1.∴y＝xf(x)＝10x2，x∈0，12，－10x2＋10x，x∈12，1.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研画出函数图像，如图所示，所求面积S＝＝512＋－103＋5－－103×18＋5×14＝54.【答案】54课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为________．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】由题图知，S＝0t(t2－x2)dx＋t1(x2－t2)dx＝43t3－t2＋13，S′＝4t2－2t，令S′＝0，得t＝0或t＝12，S＝43t3－t2＋13在0，12单调递减，在12，1单调递增，当t＝12时，S取得最小值14.【答案】14课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研例3(1)A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站．电车行驶ts后到达途中C点，这一段速度为1.2tm/s，到C点的速度达24m/s，从C点到B点站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：①A、C间的距离．②B、D间的距离．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】①设A到C经过t1s，由1.2t1＝24，得t1＝20s，所以AC＝＝240(m)．②设从D到B经过t2s，由24－1.2t2＝0，得t2＝20s.所以DB＝(