2014高考调研理科数学课本讲解_4-7_1 正、余弦定理应用举例_专题研究

课时作业新课标版·数学（理）高考调研专题研究正、余弦定理应用举例课时作业新课标版·数学（理）高考调研实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如图①)．上方下方课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．课时作业新课标版·数学（理）高考调研例1如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.①在△BCD中，由正弦定理可得BC＝asin105°sin45°＝3＋12a.②在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos30°＝22a.【答案】22a课时作业新课标版·数学（理）高考调研探究1这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．课时作业新课标版·数学（理）高考调研思考题1隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C、D两点，同时测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离．课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】如图所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°.∴AC＝CD＝3.在△BCD中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.课时作业新课标版·数学（理）高考调研由正弦定理，可得BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，即AB2＝(3)2＋(6＋22)2－23×6＋22cos75°＝5.∴AB＝5(千米)．所以两目标A、B之间的距离为5千米．【答案】5千米课时作业新课标版·数学（理）高考调研例2要测底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度．课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】如图设电视塔AB高为x，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝3x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°.即(3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，∴电视塔高为40米．【答案】40米课时作业新课标版·数学（理）高考调研探究2本题有两处易错点：①图形中为空间关系，极易当做平面问题处理，从而致错；②对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错．课时作业新课标版·数学（理）高考调研思考题2(2010·江苏理)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值．课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】由AB＝Htanα，BD＝htanβ，AD＝Htanβ及AB＋BD＝AD，得Htanα＋htanβ＝Htanβ，解得H＝htanαtanα－tanβ＝4×1.241.24－1.20＝124.因此，算出的电视塔的高度H是124m.【答案】124m课时作业新课标版·数学（理）高考调研例3在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？课时作业新课标版·数学（理）高考调研【思路】本例考查正弦、余弦定量的建模应用．如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6.∴BC＝6.课时作业新课标版·数学（理）高考调研且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26·32＝22.∴∠ABC＝45°.∴BC与正北方向垂直．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12.∴∠BCD＝30°.即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船．课时作业新课标版·数学（理）高考调研探究3首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．课时作业新课标版·数学（理）高考调研思考题3如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】作DM∥AC交BE于N，交CF于M.课时作业新课标版·数学（理）高考调研由题中所给数据可得，DF＝MF2＋MD2＝302＋1702＝10298，DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130，EF＝BE－FC2＋BC2＝902＋1202＝150.在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF＝DE2＋EF2－DF22×DE×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.【答案】1665课时作业新课标版·数学（理）高考调研应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤是：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解．课时作业新课标版·数学（理）高考调研课时作业（二十八）