2014高考调研理科数学课本讲解_5-2 平面向量基本定理及坐标运算

课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研第2课时平面向量基本定理及坐标运算课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研2013•考纲下载1.了解平面向量的基本定理及其意义．2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研请注意！平面向量的坐标运算承前启后，不仅使向量的加法、减法和实数与向量的积完全代数化，也是学习向量数量积的基础，因此是平面向量中的重要内容之一，也是高考中命题的热点内容．在这里，充分体现了转化和数形结合的思想.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研1．平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2使a＝.不共线λ1e1＋λ2e2课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研2．平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝，j＝，0＝x轴、y轴正方向相同(x，y)(1,0)(0,1)(0,0)课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研3．平面向量的坐标运算(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，a－b＝，λa＝(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝，|AB→|＝.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)x2－x12＋y2－y12课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研4．向量平行与垂直的条件设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔.(2)a、b均不为0时，a⊥b⇔.(3)a≠0，则与a平行的单位向量为.x1y2－x2y1＝0x1x2＋y1y2＝0±a|a|课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研1．如果e1，e2是平面α内的一组基底，那么下列命题正确的是()A．若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ21＋λ22＝0B．空间内任一向量a，都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2其中λ1，λ2∈RC．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD．对于平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2有无数组课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研答案A解析B中不能是空间向量，C中λ1e1＋λ2e2一定在平面α内，D中λ1，λ2是唯一的．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研2．(2013·衡水调研卷)设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于()A.22B.12C．0D．－1答案C解析由向量互相垂直得到a·b＝－1＋2cos2θ＝cos2θ＝0.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研3．(2011·广东文)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()A.14B.12C．1D．2答案B解析可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研4．在△ABC中，点P在BC上，且BP→＝2PC→，点Q是AC的中点，若PA→＝(4,3)，PQ→＝(1,5)，则BC→等于()A．(－6,21)B．(－2,7)C．(6，－21)D．(2，－7)答案A课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研解析由题知，PQ→－PA→＝AQ→＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)．又因为点Q是AC的中点，所以AQ→＝QC→.所以PC→＝PQ→＋QC→＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)．因为BP→＝2PC→，所以BC→＝BP→＋PC→＝3PC→＝3(－2,7)＝(－6,21)．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研5．已知▱ABCD的顶点A(2,1)，B(3,2)，C(4，－1)，则顶点D的坐标为________．答案(3，－2)课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研例1如图，|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝3，∠AOB＝60°，OB→⊥OC→，设OC→＝xOA→＋yOB→.求x、y的值．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】过C作CD∥OB，交OA的反向延长线于点D，连接BC，由|OB→|＝1，|OC→|＝3，OB→⊥OC→，得∠OCB＝30°.又∠COD＝30°，∴BC∥OD，∴OC→＝OD→＋OB→＝－2OA→＋OB→.∴x＝－2，y＝1.【答案】x＝－2，y＝1课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研探究1注意转化思想在本题中的应用，通过本题可以发现，只要是平面内不共线的两个向量都可以作为基底．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研思考题1已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，以AB→，AC→为一组基底来表示AD→＋BD→＋CD→.【解析】AB→＝(1,3)，AC→＝(2,4)，AD→＝(－3,5)，BD→＝(－4,2)，CD→＝(－5,1)，所以AD→＋BD→＋CD→＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研根据平面向量基本定理，一定存在实数m，n，使得AD→＋BD→＋CD→＝m·AB→＋n·AC→，所以(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)．即(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n)，可得m＋2n＝－12，3m＋4n＝8.解得m＝32，n＝－22.所以AD→＋BD→＋CD→＝32AB→－22AC→.【答案】AD→＋BD→＋CD→＝32AB→－22AC→课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研例2已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量MN→的坐标．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研(3)∵CM→＝OM→－OC→＝3c，∴OM→＝3c＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵CN→＝ON→－OC→＝－2b，∴ON→＝－2b＋OC→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)．∴N(9,2)．∴MN→＝(9，－18)．【答案】(1)(6，－42)(2)m＝－1，n＝－1.(3)(9，－18)课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研探究2向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研思考题2(1)(高考题改编)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则BD→＝________.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】AD→＝BC→＝AC→－AB→＝(－1，－1)，BD→＝BA→＋AD→＝(－2，－4)＋(－1，－1)＝(－3，－5)．【答案】(－3，－5)课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)(2011·湖南文)设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．【解析】设a＝(x，y)，x0，y0，则x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝4，y＝2(舍去)，或者x＝－4，y＝－2，即a＝(－4，－2)．【答案】(－4，－2)课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研例3平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．回答下列问题：(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(2)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，求d.【解析】(1)a＋kc＝(3,2)＋k(4,1)＝(3＋4k,2＋k)．2b－a＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)，∴3＋4k－5＝2＋k2.∴6＋8k＝－10－5k.∴k＝－1613.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)d－c＝(x，y)－(4,1)＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)．∵(d－c)∥(a＋b)，∴x－42＝y－14，即y－1＝2(x－4)．①又|d－c|＝1，∴x－42＋y－12＝1.②课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研①代入②，得5(x－4)2＝1，∴x＝4±15.∴x＝4＋55，y＝255＋1或x＝4－55，y＝－255＋1.∴d＝(4＋55，255＋1)或d＝(4－55，－255＋1)．【答案】(1)k＝－1613(2)d＝(4＋55，255＋1)或d＝(4－55，－255＋1)课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研探究3两个向量共线的充要条件在解题中具有重要的应用，一般地，如果已知两个向量共线，求某些参数的值，那么利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是：x1y2－x2y1＝0”比较简捷．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研思考题3已知向量a＝(－3,1)，b＝(1，－2)，若(－2a＋b)∥(a＋kb)，则实数k的值是()A．－17B.53C.1918D．－12【解析】易知a＋kb为非零向量，故由题意得－2a＋b＝λ(a＋kb)，∴λ＝－2,1＝λk，∴k＝－12.【答案】D课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研1．解题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示，选择了不共线的两个向量e1、e2，平面上的任何一个向量a都可以用e1、e2唯一表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有e1、e2的代数运算．2．根据向量共线的充要条件，若A、B、C三点共线，只要满足AB→＝λBC→(或AC→＝λAB→)，就可以列方程求出k的值或利用向量平行的充要条件求出k的值．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(12，－34)答案B课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研2．▱ABCD中，AD→＝(3,7)，AB→＝(－2,3)，对称中心为O，则CO→等于()A．(－12，5)B．(－12，－5)C．(1