高考数学-立体几何知识点与例题讲解-题型、方法技巧

1立体几何知识点与例题讲解一、知识点一常用结论1．证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.7.夹角公式：设a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb，则cos〈a，b〉=112233222222123123abababaaabbb.8．异面直线所成角：cos|cos,|abrr=121212222222111222||||||||xxyyzzababxyzxyzrrrr（其中（090oo）为异面直线ab,所成角，,abrr分别表示异面直线ab,的方向向量）9.直线AB与平面所成角：sin||||ABmarcABm(m为平面的法向量).10、空间四点A、B、C、P共面OCzOByOAxOP，且x+y+z=111.二面角l的平面角cos||||mnarcmn或cos||||mnarcmn（m，n为平面，的法向量）.12.三余弦定理：设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为1，AB与AC所成的角为2，AO与AC所成的角为．则12coscoscos.13.空间两点间的距离公式若A111(,,)xyz，B222(,,)xyz，则,ABd=||ABABAB222212121()()()xxyyzz.14.异面直线间的距离：||||CDndn(12,ll是两异面直线，其公垂向量为n，CD、分别是12,ll上任一点，2d为12,ll间的距离).15.点B到平面的距离：||||ABndn（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）.16.三个向量和的平方公式：2222()222abcabcabbcca2222||||cos,2||||cos,2||||cos,abcababbcbccaca17.长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123lll、、，夹角分别为123、、,则有2222123llll222123coscoscos1222123sinsinsin2.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.18.面积射影定理'cosSS.(平面多边形及其射影的面积分别是S、'S，它们所在平面所成锐二面角的).19.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a,外接球的半径为64a.20.求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）21.求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）〈二〉温馨提示：1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及义？①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.②直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是．〈三〉解题思路：1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面线面平行的判定：abbaa∥，面，∥面ab线面平行的性质：∥面，面，∥bab3三垂线定理（及逆定理）：PAAOPO⊥面，为在内射影，面，则aaOAaPOaPOaAO⊥⊥；⊥⊥aPO线面垂直：abacbcbcOa⊥，⊥，，，⊥aOαbc面面垂直：aa⊥面，面⊥面⊥面，，，⊥⊥llaaaαalβabab⊥面，⊥面∥面⊥，面⊥∥aaab2、三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°＝时，∥或0bob（）二面角：二面角的平面角，30180loo（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）三类角的求法：①找出或作出有关的角。②证明其符合定义，并指出所求作的角。③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。4二、题型与方法【考点透视】不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成。求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。【例题解析】考点1点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.例1如图，正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为2，D为1CC中点．（Ⅰ）求证：1AB⊥平面1ABD；（Ⅱ）求二面角1AADB的大小；（Ⅲ）求点C到平面1ABD的距离．考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．解答过程：解法一：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．ABC△为正三角形，AOBC⊥．正三棱柱111ABCABC中，平面ABC⊥平面11BCCB，AO⊥平面11BCCB．连结1BO，在正方形11BBCC中，OD，分别为1BCCC，的中点，1BOBD⊥，1ABBD⊥．在正方形11ABBA中，11ABAB⊥，1AB⊥平面1ABD．（Ⅱ）设1AB与1AB交于点G，在平面1ABD中，作1GFAD⊥于F，连结AF，由（Ⅰ）得1AB⊥平面1ABD．1AFAD⊥，AFG∠为二面角1AADB的平面角．在1AAD△中，由等面积法可求得455AF，又1122AGAB，210sin4455AGAFGAF∠．所以二面角1AADB的大小为10arcsin4．ABCD1A1C1BABCD1A1C1BOF5（Ⅲ）1ABD△中，1115226ABDBDADABS△，，，1BCDS△．在正三棱柱中，1A到平面11BCCB的距离为3．设点C到平面1ABD的距离为d．由11ABCDCABDVV，得111333BCDABDSSd△△，1322BCDABDSdS△△．点C到平面1ABD的距离为22．解法二：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．ABC△为正三角形，AOBC⊥．在正三棱柱111ABCABC中，平面ABC⊥平面11BCCB，AD⊥平面11BCCB．取11BC中点1O，以O为原点，OB，1OO，OA的方向为xyz，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B，，，(110)D，，，1(023)A，，，(003)A，，，1(120)B，，，1(123)AB，，，(210)BD，，，1(123)BA，，．12200ABBD，111430ABBA，1ABBD⊥，11ABBA⊥．1AB⊥平面1ABD．（Ⅱ）设平面1AAD的法向量为()xyz，，n．(113)AD，，，1(020)AA，，．AD⊥n，1AA⊥n，100ADAA，，nn3020xyzy，，03yxz，．令1z得(301)，，n为平面1AAD的一个法向量．由（Ⅰ）知1AB⊥平面1ABD，1AB为平面1ABD的法向量．cosn，1113364222ABABABnn．xzABCD1A1C1BOFy6二面角1AADB的大小为6arccos4．（Ⅲ）由（Ⅱ），1AB为平面1ABD法向量，1(200)(123)BCAB，，，，，．点C到平面1ABD的距离1122222BCABdAB．小结：本例中（Ⅲ）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B点到平面1AMB的距离转化为容易求的点K到平面1AMB的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法.考点2异面直线的距离此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.例2已知三棱锥ABCS，底面是边长为24的正三角形，棱SC的长为2，且垂直于底面.DE、分别为ABBC、的中点，求CD与SE间的距离.思路启迪：由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.解答过程：如图所示，取BD的中点F，连结EF，SF，CF，EF为BCD的中位线，EF∥CDCD,∥面SEF,CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线CD上一点C到平面SEF的距离，设其为h，由题意知，24BC,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点，2,2,621,62SCDFCDEFCD33222621312131SCDFEFVCEFS在RtSCE中，3222CESCSE在RtSCF中，30224422CFSCSF又3,6SEFSEF由于hSVVSEFCEFSSEFC31，即332331h，解得332h故CD与SE间的距离为332.7小结：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程.考点3直线到平面的距离此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化.例3．如图，在棱长为2的正方体1AC中，G是1AA的中点，求BD到平面11DGB的距离.思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.解答过程：解析一BD∥平面11DGB，BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求，以下求点O平面11DGB的距离,1111CADB，AADB111，11DB平面11ACCA,又11DB平面11DGB平面1111DGBACCA，两个平面的交线是GO1,作GOOH1于H，则有OH平面11DGB，即OH是O点到平面11DGB的距离.在OGO1中，222212111AOOOSOGO.又362,232121