高考数学一轮 知识点各个击破 第七章 立体几何课件 文 新人教A版

第七章立体几何第一节空间几何体的结构特征及三视图和直观图第二节空间几何体的表面积和体积第三节空间点、直线、平面间的位置关系第四节直线、平面平行的判定及性质第五节直线、平面垂直的判定与性质目录第七章立体几何[知识能否忆起]一、多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都___________棱锥有一个面是，而其余各面都是有一个____的三角形棱台棱锥被平行于的平面所截，和之间的部分互相平行平行且相等公共顶点底面截面底面多边形二、旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形所在的直线圆锥直角三角形所在的直线圆台直角梯形所在的直线球半圆所在的直线三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．任一边一条直角边垂直于底边的腰直径四、平行投影与直观图空间几何体的直观图常用画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍_________．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度，平行于y轴的线段长度在直观图中．斜二测垂直平行于坐标轴不变变为原来的一半五、三视图［动漫演示更形象,见配套课件］几何体的三视图包括、、，分别是从几何体的、、观察几何体画出的轮廓线．正视图侧视图俯视图正前方正左方正上方超链接[小题能否全取]1．(教材习题改编)以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析：B中正方体的放置方向不明，不正确．C中三视图不全是正三角形．D中俯视图是一个圆环．答案：A2．(2012·杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．答案：C3．下列三种叙述，其中正确的有()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个答案：A解析：①中的平面不一定平行于底面，故①错．②③可用下图反例检验，故②③不正确．4．(教材习题改编)利用斜二测画法得到的：①正方形的直观图一定是菱形；②菱形的直观图一定是菱形；③三角形的直观图一定是三角形．以上结论正确的是________．解析：①中其直观图是一般的平行四边形，②菱形的直观图不一定是菱形，③正确．答案：③5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．解析：由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③.答案：③1.正棱柱与正棱锥(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：①侧棱垂直于底面；②底面是正多边形．(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，②底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．2．对三视图的认识及三视图画法(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．3．对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．空间几何体的结构特征[例1](2012·哈师大附中月考)下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线[自主解答]A错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图2，若△ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；图1图2C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．[答案]D解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，并会通过反例对概念进行辨析．举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱台等，也可利用它们的组合体去判断．1．(2013·天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．答案:B几何体的三视图[例2](2012·湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()[自主解答]根据几何体的三视图知识求解．由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是C.[答案]C三视图的长度特征三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”．[注意]画三视图时，要注意虚、实线的区别．2．(1)(2012·莆田模拟)如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的()解析：由俯视图排除B、C；由主视图、侧视图可排除A.答案：D(2)(2012·济南模拟)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为()A．22B．4C.3D．23解析：依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为2，3的矩形，故其面积是23.答案：D几何体的直观图[例3]已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．[自主解答]建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，OC为△ABC的高．把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，则点C′变为点C，且OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，长度不变．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得O′C′sin∠OA′C′＝A′C′sin45°，所以OC′＝sin120°sin45°a＝62a，所以原三角形ABC的高OC＝6a.所以S△ABC＝12×a×6a＝62a2.用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图形与直观图中的“三变、三不变”．“三变”坐标轴的夹角改变，与y轴平行线段的长度改变，图形改变；“三不变”平行性不变，与x轴平行的线段长度不变，相对位置不变.3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A．2＋2B.1＋22C.2＋22D．1＋2解析：恢复后的原图形为一直角梯形S＝12(1＋2＋1)×2＝2＋2.答案：A[典例](2012·陕西高考)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为()[尝试解题]还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．[答案]B1.因没有区分几何体中的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线，误选A、C.2.因为忽视了B1C被遮挡，误认为无投影，不用画出，误选D.3.对于由几何体画出其三视图时，首先要看清几何体的结构特征，在绘制三视图时，若相邻两几何体的两表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都是用实线画出，被挡住的轮廓线用虚线画出，其次要注意三视图的长、宽、高的要求及排放规则.针对训练1．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解析：由正视图与俯视图可以将选项A、C排除；根据侧视图，可以将D排除，注意正视图与俯视图中的实线．答案:B2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的侧视图为()解析：被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项D符合．答案:D教师备选题（给有能力的学生加餐）A．1B.322C.2D.31．(2012·北京朝阳二模)有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是()答案：D解析：如图所示是棱长为1的正方体．当投影线与平面A1BC1垂直时，∵面ACD1∥面A1BC1，∴此时正方体的正投影为一个正六边形．设其边长为a，则3a＝2，∴a＝63.∴投影面的面积为6×34×632＝3.此时投影面积最大，故D正确．2．如图，△ABC与△ACD都是等腰直角三角形，且AD＝DC＝2，AC＝BC.平面ACD⊥平面ABC，如果以平面ABC为水平平面，正视图的观察方向与AB垂直，则三棱锥D－ABC的三视图的面积和为________．解析：由题意得AC＝BC＝22，AB＝4，△ACD边AC上的高为2，正视图的面积是12×4×2＝22，侧视图的面积是12×2×2＝2，俯视图的面积是12×22×22＝4，所以三视图的面积和为4＋32.答案：4＋323．(2012·北京海淀)已知正三棱柱ABC－A′B′C′的正视图和侧视图如图所示，设△ABC，△A′B′C′的中心分别是O，O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度(x可以取到任意一个实数)，对应的俯视图的面积为S(x)，则函数S(x)的最大值为________；最小正周期为________．(说明：“三棱柱绕直线OO′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角．)解析：由题意可知，当三棱柱的一个侧面在水平面内时，该三棱柱的俯视图的面积最大．此时俯视图为一个矩形，其宽为3×tan30°×2＝2，长为4，故S(x)的最大值为8.当三棱柱绕OO′旋转时，当A点旋转到B点，B点旋转到C点，C点旋转到A点时，所得三角形与原三角形重合，故S(x)的最小正周期为2π3.答案：82π3[知识能否忆起]柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝_____V＝＝圆锥S侧＝V＝＝＝13πr2l2－r2圆台S侧＝V＝13(S上＋S下＋S上·S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h2πrlπrlπ(r1＋r2)lShπr2h13Sh13πr2h面积体积直棱柱S侧＝V＝正棱锥S侧＝V＝正棱台S侧＝V＝13(S上＋S下＋S上·S下)h球S球面＝V＝ChSh1