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│平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有又有的量叫做向量．(2)表示方法：用有向线段来表示向量．有向线段的表示向量的大小，用表示向量的方向，用字母a，b，…或用…表示．(3)模：向量的叫向量的模，记作|a|或.(4)零向量：长度为的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向不确定．│知识梳理知识梳理大小方向箭头所指的方向长度长度零(5)单位向量：长度为的向量叫做单位向量．(6)共线向量：的向量叫共线向量，共线向量也叫平行向量，规定零向量与任何向量共线．(7)相等的向量：向量叫相等的向量．2．向量的加法(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)法则：三角形法则，平行四边形法则．(3)运算律：a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).│知识梳理1个长度单位方向相同或相反长度相等且方向相同的3．向量的减法(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．(2)法则：三角形法则，平行四边形法则．4．实数与向量的积(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与a的方向；当λ＜0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa与a平行．(2)运算律：λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.5．向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b＝λa，即b∥ab＝λa(a≠0)．│知识梳理相同相反探究点1向量的有关概念│要点探究要点探究例1判断下列各命题是否正确：(1)零向量没有方向；(2)若|a|＝|b|,则a=b；(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若共起点，则终点也相同；(6)若a＝b，b＝c则a＝c；(7)若a∥b，b∥c，则a∥c；│要点探究(8)若四边形ABCD是平行四边形，则(9)a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.【思路】正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明．【解答】(1)不正确，零向量方向任意；(2)不正确，只能说明模相等，还有方向；(3)不正确，单位向量的模为1，方向很多；(4)不正确，有向线段是向量的一种表示形式；(5)正确；(6)正确，向量相等有传递性；(7)不正确，因若b＝0，则对不共线的向量a，c也有a∥0，0∥c；(8)不正确，如图(9)不正确，当a∥b，且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b；│要点探究【点评】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的含义入手，也可以通过举出反例来排除或否定相关命题．探究点2向量的线性运算│要点探究例2[2009·湖南卷]如图31－1所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则()【思路】利用相等向量和三角形法则进行计算．│要点探究【点评】利用中位线的性质得到相等向量和相反向量是解题关键．向量的线性运算除三角形法则外还有平行四边形法则，如下题：【解析】A∵∴得或故选A.│要点探究变式题[2009·山东卷]设P是△ABC所在平面内的一点，则()【思路】由图形可知：P为AC中点．【解析】B因为所以点P为线段AC的中点，所以应该选B.探究点3共线向量定理的应用│要点探究例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．【思路】(1)可证共线．(2)待定系数法求k.│要点探究【解答】(1)证明：∴共线，又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．│要点探究(2)∵与共线，∴存在实数λ，使即∴∵是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.【点评】利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．若是两个不共线的非零向量，则的充要条件是λ＝μ＝0.这一结论结合待定系数法应用非常广泛．│要点探究变式题若是两个不共线的非零向量，与起点相同，则当t为何值时，三向量的终点在同一条直线上？【思路】设出三向量的终点，利用条件列方程组．│要点探究【解答】设要使A、B、C三点共线，只需＝λ(λ∈R)，即∴有∴当t＝时，三向量终点在同一直线上．.21323132tt，，，21探究点4向量线性运算的综合问题│要点探究【思路】数形结合．例4[2009·全国卷Ⅰ]设非零向量满足则＝()A．150°B．120°C．60°D．30°【解析】B由向量加法的平行四边形法则，知可构成菱形的两条相邻边，且起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B.│要点探究【点评】向量的线性运算主要是利用三角形法则和平行四边形法则，数形结合是必不可少的．在进行运算时表示向量的字母顺序特点也要熟悉，如下题：变式题已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使m＋n，且m＋n＝1.【思路】题设条件中向量表达式未涉及可以利用来转化．│要点探究【解答】充分性，由m＋n＝1，得∴A、B、C三点共线．必要性：由A、B、C三点共线知，存在常数λ，使得即取m＝1－λ，n＝λ，m＋n＝1，│规律总结规律总结1．本讲内容概念较多，应加深理解，熟练掌握．(1)向量的有关概念：向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、相等向量、相反向量．(2)向量加法与减法：三角形法则，平行四边形法则，运算律及运算性质．(3)向量数乘的定义及其运算律．(4)共线向量基本定理的内容及应用．│规律总结2．数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．3．向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线平行问题．4．关于数量的代数运算的公式和法则在向量范围内并不完全适用，要防止负迁移．