高考数学一轮单元复习：第47讲 双曲线

│双曲线1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做。这两个定点F1，F2叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的.双曲线的定义用符号语言表示：.2.双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程：(a0，b0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0).(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程：(a0，b0)，焦点F1(0，－c)，F2(0，c).│知识梳理知识梳理122MFMFa12FF焦点焦距x2a2－y2b2＝1y2a2－x2b2＝1双曲线其中a，b，c几何意义：a表示实轴长的一半，b表示虚轴长的一半，c表示焦距长的一半.并且有c2＝a2＋b2.3.双曲线的简单几何性质，以x2a2－y2b2＝1为例.(1)范围：；(2)对称性：对称轴：x轴、y轴，对称中心：O(0，0)；(3)顶点：，实轴长＝2a，虚轴长＝2b；(4)离心率e＝ca，e1.e越，双曲线越；e越大，双曲线越.(5)双曲线的渐近线方程：.│知识梳理A1(－a，0)，A2(a，0)小扁开阔y＝±bax12AA12BB,xayR│要点探究要点探究►探究点1双曲线定义的应用例1[2009·辽宁卷]已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则的最小值为________.PFPA│要点探究【思路】从双曲线的定义和三角形的边的关系入手，构建关系式，求得最小值．【答案】9【解析】注意到A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F1(4,0)．于是由双曲线性质|PF|－|PF1|＝2a＝4，又|PA|＋|PF1|≥|AF1|＝5，两式相加得|PF|＋|PA|≥9，当且仅当A、P、F1三点共线时等号成立．│要点探究【点评】求双曲线上的点到平面内定点与到焦点的距离之和或距离之差的最值问题，首先考虑双曲线的定义，然后借助三角形边的一些不等关系，得到三点共线是最值．若已知双曲线上的点到焦点的距离是定值问题，可以求得点的坐标，进而解决诸如面积等其他类问题，如下面的变式题：│要点探究变式题[2008·四川卷]已知双曲线C：x29－y216＝1的左右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且则△PF1F2的面积等于()A．24B．36C．48D．96【思路】(1)由双曲线方程求得焦距，从而得三角形两腰长，再由双曲线定义求出底边，以PF1为底求面积.(2)设出P点坐标，由题意知，P是以F2为圆心，焦距为半径的圆与双曲线的交点，由此求出P点坐标，再求面积.212PFFF│要点探究【解析】C方法一：∵双曲线C：x29－y216＝1中a＝3，b＝4，c＝5，∴F1（-5,0），F2（5,0）.∵|PF1|＝|F1F2|，∴|PF1|＝2a＋|PF2|＝6＋10＝16.作PF1边上的高AF2，则AF1＝8，∴AF2＝102－82＝6.∴△PF1F2的面积为12|PF1|·|AF2|＝12×16×6＝48，故选C.│要点探究方法二：∵双曲线C：x29－y216＝1中，a＝3，b＝4，c＝5，∴F1（-5,0），F2（5,0）设P(x0，y0)，(x00)，则由|PF1|＝|F1F2|得(x0－5)2＋y02＝102，又∵P为C的右支上一点，∴，∴＝16（x029－1)，∴(x0－5)2＋16（x029－1)＝100，即25－90x0－819＝0.解得x0＝395或x0＝－2150(舍去).22001916xy20x20y│要点探究∴＝16（x029－1)＝16[(395)2×19－1]＝48252，y0＝±485.∴△PF1F2的面积为12|F1F2|·|y0|＝12×10×485＝48，故选C.20y│要点探究►探究点2双曲线的标准方程例2根据下列条件，求焦点在x轴上的双曲线方程：(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2).【思路】利用待定系数法求双曲线标准方程.│要点探究【解答】方法一：(1)设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，由题意，得ba＝43，,(－3)2a2－(23)2b2＝1，解得a2＝94，b2＝4.所以双曲线的方程为x294－y24＝1.(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由题意易求c＝25，又双曲线过点(32，2)，│要点探究∴(32)2a2－4b2＝1.又∵a2＋b2＝(25)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.方法二：(1)设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入得λ＝14，所以双曲线方程为x29－y216＝14.│要点探究(2)设双曲线方程为x216－k－y24＋k＝1，将点(32，2)代入得k＝4，所以双曲线方程为x212－y28＝1.【点评】求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e)之间的关系，并注意方程思想的应用，若已知双曲线的渐近线方程为ax±by＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).│要点探究│要点探究►探究点3椭圆的几何性质的应用例3[2009·山东卷]设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A.54B.5C.52D.5【思路】由双曲线的渐近线与已知抛物线有且仅有一个交点得到a，b的关系，借助离心率求解公式求值.│要点探究【解答】D双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线为y＝bax，由方程组y＝baxy＝x2＋1消去y，得x2－bax＋1＝0有唯一解，所以Δ＝(ba)2－4＝0，所以ba＝2，e＝ca＝a2＋b2a＝＝5.21ba【点评】本题考查了双曲线的渐近线方程和离心率，以及直线与抛物线的位置关系.只有一个公共点，则方程组有唯一解，作为寻找a，b，c关系的切入点，同时考查了基本概念、基本方法和基本技能.双曲线的性质特别是有关渐近线和离心率的问题常常以选择题或者填空题的形式出现在高考题中.│要点探究│要点探究变式题[2009·天津卷]设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为()A.y＝±2xB.y＝±2xC.y＝±22xD.y＝±12x【解答】C由已知得到b＝1，c＝3，a＝c2－b2＝2，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为y＝±bax＝±22x.│要点探究►探究点4双曲线的综合应用例4[2009·陕西卷]已知双曲线C的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，离心率e＝52，顶点到渐近线的距离为255.(1)求双曲线C的方程；(2)如图47－3所示，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，λ∈13，2，求△AOB面积的取值范围．APPB│要点探究【思路】(1)由离心率和顶点到渐近线的距离较容易求得a，b，c的值；(2)设出A、B两点的坐标，根据条件，，λ∈13，2得到P点坐标并代入双曲线方程，写出三角形面积表达式，借助于题目条件中给出的范围得解．APPB│要点探究【解答】(1)由题意知，双曲线C的顶点(0，a)到渐近线ax－by＝0的距离为255，所以aba2＋b2＝255，所以abc＝255，由abc＝255，ca＝52，c2＝a2＋b2，得a＝2，b＝1，c＝5.│要点探究所以曲线C的方程是y24－x2＝1.(2)方法一：由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y＝±2x.设A(m,2m)，B(－n,2n)，m0，n0.由得P点的坐标为m－λn1＋λ，m＋λn1＋λ，将P点的坐标代入y24－x2＝1，化简得mn＝＋λ24λ，设∠AOB＝2θ，则tanπ2－θ＝2，tanθ＝12，sin2θ＝45，APPB│要点探究又|OA|＝5m，|OB|＝5n，所以S△AOB＝12|OA|·|OB|·sin2θ＝2mn＝12λ＋1λ＋1，记S(λ)＝12λ＋1λ＋1，λ∈13，2，则S′(λ)＝121－1λ2，由S′(λ)＝0得λ＝1.又S(1)＝2，S13＝83，S(2)＝94.所以当λ＝1时，△AOB面积取到最小值2，当λ＝13时，△AOB面积取到最大值83.│要点探究所以△AOB面积的取值范围是2，83.方法二：设直线AB的方程为y＝kx＋m，由题意知|k|2，m0.由y＝kx＋m，y＝2x，得A点的坐标为m2－k，2m2－k，由y＝kx＋m，y＝-2x，得B点的坐标为－m2＋k，2m2＋k，，得P点的坐标为m1＋λ12－k－λ2＋k，2m1＋λ12－k＋λ2＋k，APPB│要点探究将P点的坐标代入y24－x2＝1，得4m24－k2＝＋λ2λ，设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为(0，m)．S△AOB＝S△AOQ＋S△BOQ.＝12|OQ|·|xA|＋12|OQ|·|xB|＝12m(xA－xB)＝12mm2－k＋m2＋k＝12·4m24－k2＝12λ＋1λ＋1，│要点探究则S′(λ)＝121－1λ2，由S′(λ)＝0得λ＝1.又S(1)＝2，S13＝83，S(2)＝94，所以当λ＝1时，△AOB面积取到最小值2，当λ＝13时，△AOB面积取到最大值83.所以△AOB面积的取值范围是2，83.【点评】本题考查了双曲线方程的求解，属于基本题型，待定系数法即可解决；又结合向量考查了函数的值域问题．第(2)问的主要思想是面积函数的建立，关键是要写出关于λ的函数，要做到这一点，需要事先引入变量，通过题目条件来得到变量之间的线性关系，结合消元的方法将多变量转化为单一变量问题去解决．这是解析几何类综合问题的考查热点．│要点探究│规律总结规律总结1．重视双曲线定义的应用，充分理解双曲线定义的符号语言||MF1|－|MF2||＝2a.2．双曲线的几何性质记忆要准确，例如离心率e＝ca，焦点在x轴上的渐近线方程y＝±bax等．│规律总结3．对于综合性问题，例如直线和双曲线相交，常常设而不求，利用韦达定理x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca，不要忽略x2的系数不为零和判别式大于零的条件，还应注意直线是与双曲线的相交是与两个分支相交还是与一个分支相交．