2013高一数学必修1教师用书：第三章 §2 指数扩充及其运算性质(北师大版)

第三章指数函数和对数函数理解教材新知§2指数扩充及其运算性质把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三把幂的指数由整数扩充到有理数．问题1：计算a4和5a10(a0)．提示：a4＝a22＝a2＝a42.5a10＝5a25＝a2＝a105.问题2：模仿a－n＝1an计算a32.提示：a32＝321a.1．分数指数幂概念给定a，对于任意给定的m、n(m、n互素)，存在唯一的正实数b，使得，把b叫做a的次幂，记作b＝a，它就是分数指数幂．正实数整数bn＝ammn2．正分数指数幂、负分数指数幂与零的分数指数幂(1)正分数指数幂的根式形式：amn＝(a0)．(2)负分数指数幂的定义：a－mn＝(a0，m，n∈N＋，且n1)．(3)0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂.0没有意义nam1mna关于“数”，我们经历了几次扩充过程．由{正整数}→{整数}→{有理数}→{实数}．那么正整数指数幂的运算性质能否扩充到整数和有理数指数幂，甚至实数范围内的运算性质呢？问题1：计算33×3－5和33＋(－5)，它们之间有什么关系？提示：均等于19，即33×3－5＝33＋(－5)．问题2：计算(22)和22×，它们之间有什么关系？提示：(22)＝4＝2,22×＝2，即(22)＝22×.12121212121212指数运算的性质若a0，b0，对任意实数m，n，指数运算有以下性质：(1)am·an＝am＋n，(2)(am)n＝amn，(3)(ab)n＝anbn.1．正整数指数幂的运算性质，对指数为负整数，有理数和无理数都成立．2．0＝0,0－无意义．mnmn3．根式是分数指数幂的另一种书写形式，它们之间可以相互转化．注意，在根式的运算中，nan与(na)n有着不同的意义．(1)(na)n＝a；(2)nan＝a，n为奇数，|a|，n为偶数.[例1]求下列各式的值：(1)63－π6；(2)481×9；(3)(325－125)÷45；(4)a2a·3a2(a0)．23[思路点拨]将根式化为分数指数幂形式，利用分数指数幂的运算性质计算是根式运算中经常采用的方法．[精解详析](1)原式＝|3－π|＝π－3；(2)原式＝[34×(3)]＝(34＋)＝3×＝3＝363；43121414142314376(3)原式＝(523－5)÷5＝523÷5－5÷5＝523－－5－＝5－5＝1255－455；(4)原式＝＝a2－12－23＝a56＝6a5.32143214143214512541422132aaa[一点通]对于既含有分数指数幂，又含有根式的式子，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于计算．如果根式中的根指数不同，也应化成分数指数幂的形式．1．若2a3，则化简2－a2＋43－a4的结果是()A．5－2aB．2a－5C．1D．－1解析：由于2a3，所以2－a0,3－a0.所以原式＝a－2＋3－a＝1.答案：C2．已知ab0，n1，n∈N＋，化简na－bn＋na＋bn.解：当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a.所以na－bn＋na＋bn＝2a，n为奇数，－2a，n为偶数.[例2]计算下列各式：(1)(0.064)－－－780＋[(－2)3]－＋16－0.75＋|－0.01|；(2)÷3a－7·3a13(a0)．[思路点拨](1)将负分数指数化为正分数指数，将小数指数化为分数指数．(2)将根式化为分数指数幂．4313123932aa[精解详析](1)原式＝[(0.4)3]－－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋[(0.1)2]12＝(0.4)－1－1＋116＋18＋0.1＝14380；(2)原式＝[a··a·(－)]÷[a12·(－)·a12·]＝a－＋－＝a0＝1.131332927313396361376136[一点通]进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用．一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．3．计算(2a－3b－23)·(－3a－1b)÷(4a－4b－)，得()A．－32b2B.32b2C．－32b73D.32b73解析：原式＝－2×34a－3－1＋4b－23＋1＋53＝－32b2.答案：A534．化简：3332211424ababbaba＝________.解析：原式＝(a32a16a－1a13)(bb13b－2b－13)＝a32＋16－1＋13b1＋13－2－13＝ab－1.答案：ab－15．计算：(279)0.5＋0.1－2＋(21027)－23－3π0＋3748.解：原式＝(259)12＋10.12＋(6427)－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.[例3](1)已知a12＋a－12＝3，求a2＋a－2的值；(2)已知32a＋b＝1，求9a×3b3a的值．[思路点拨](1)先观察a12·a－12＝1，对已知式子两边平方；(2)应化成同底数的幂的形式．[精解详析](1)∵a12＋a－12＝3，∴(a12＋a－12)2＝9.∴a＋2＋a－1＝9.∴a＋a－1＝7.又(a＋a－1)2＝49，∴a2＋2＋a－2＝49.∴a2＋a－2＝47.(2)9a·3b3a＝23233aab＝32a＋b－＝3＋b.∵3a2＋b＝1，∴9a·3b3a＝3.32a2a[一点通]解决此类问题的思路步骤如下：6．已知x12＋x－12＝5，则x2＋1x的值为()A．5B．23C．25D．27解析：由x12＋x－12＝5，平方得x＋x－1＝23，即x2＋1x＝x＋1x＝x＋x－1＝23.答案：B7．已知x－3＋1＝a(a为常数)，求a2－2ax－3＋x－6的值．解：∵x－3＋1＝a，∴x－3＝a－1，又∵x－6＝(x－3)2，∴x－6＝(a－1)2，∴a2－2ax－3＋x－6＝a2－2a(a－1)＋(a－1)2＝a2－(2a2－2a)＋(a2－2a＋1)＝1.8．如果a12＋a－12＝322，求1411-a＋1411+a＋1221+a＋41＋a的值．解：原式＝11442(1-)(1+)aa＋1221+a＋41＋a＝1221-a＋1221+a＋41＋a＝2＋21－a＋41＋a＝81－a2，又a12＋a－12＝322，得a＋1a＋2＝92，即2a2－5a＋2＝0.∴a＝2或12，所以代入原式＝－83或323.1．在根式的化简与运算中，一般是先将根式化成分数指数幂，再进行运算．2．幂的运算中，结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能同时含有分母和负分数指数幂，若无特殊说明，结果一般用分数指数幂的形式表示．3．对条件求值问题，要弄清已知与未知的联系，采用“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．点击下列图片进入应用创新演练