2013高一数学必修1教师用书：第二章 §5 简单的幂函数(北师大版)

第二章函数理解教材新知§5简单的幂函数把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三知识点一知识点二我们学习过几种基本初等函数如正比例函数y＝x，反比例函数y＝x－1，二次函数y＝x2.看下面两个例子：(1)如果正方体的棱长为x，正方体的体积为y；(2)如果正方形场地面积为x，其边长为y.问题1：在第一个例子中，y关于x的函数关系式怎样？提示：y＝x3.问题2：在第二个例子中，y关于x的函数关系式怎样？提示：y＝x，即y＝x.问题3：这两个问题中的函数关系式与y＝x、y＝x－1、y＝x2有什么共同特点．提示：都具备幂的形式，其中幂底数是自变量x，幂指数是常数．12如果一个函数，底数是，指数是，即y＝，这样的函数称为幂函数.自变量x常量αxα给定我们熟悉的四个函数f(x)＝x2，f(x)＝|x|，f(x)＝x，f(x)＝1x.问题1：函数f(x)＝x2与f(x)＝|x|的图像各关于什么对称？以－x代替x函数值发生变化吗？提示：都关于y轴对称；以－x代替x各自的函数值不发生变化，即f(－x)＝f(x)．问题2：函数f(x)＝x与f(x)＝1x的图像各关于什么对称？以－x代替x函数值发生变化吗？提示：都关于原点对称；以－x代替x各自的函数值互为相反数,即f(－x)＝－f(x)．(1)一般地，图像关于对称的函数叫作奇函数，图像关于对称的函数叫作偶函数．(2)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内一个x，都有，那么函数f(x)一定是偶函数．(3)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内一个x，都有，那么函数f(x)一定是奇函数．原点y轴任意f(－x)＝f(x)任意f(－x)＝－f(x)1．幂函数的定义是一种形式上的定义，只有符合y＝xα这种形式的函数才是幂函数．2．奇偶性是函数在定义域上的对称性，是相对整个定义域来说的，是函数的整体性质，只有对定义域中的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇(偶)函数．[例1]下列函数中是幂函数的是()①y＝1x3；②y＝axm(a，m为非零常数，且a≠1)；③y＝x＋x4；④y＝xn；⑤y＝(x－6)3；⑥y＝8x2；⑦y＝x2＋x；⑧y＝1.A．①②③⑧B．①④C．③④⑤⑥D．②④⑦[思路点拨]解答本题可先考虑幂函数的定义，紧紧抓住其形式特点再一一判断．15[精解详析]由幂函数的定义：形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数，则y＝1x3＝x－3，y＝xn是幂函数．[答案]B[一点通]幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据之一．1．在函数y＝1x，y＝2x3，y＝x2＋1，y＝(x＋1)3中，幂函数的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：形如y＝xα的函数才是幂函数，其xα前的系数为1，α为实常数，故只有y＝1x＝x是幂函数．答案：A－122．已知y＝(m2＋2m－2)·x＋(2n－3)是幂函数，求m、n的值．解：由题意得：m2＋2m－2＝1，m2－1≠0，2n－3＝0，解得m＝－3，n＝32.所以m＝－3，n＝32为所求.1m2－1[例2]点(2，2)与点－2，－12分别在幂函数f(x)、g(x)的图像上，问当x为何值时，有①f(x)g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)g(x)?[思路点拨]用待定系数法求出两个函数的解析式，再画出两个幂函数的图像，根据数形结合法写出不等式的解集．[精解详析]设f(x)＝xα，g(x)＝xβ，则(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1.∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图像如图，由图像可知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)g(x)；当x＝1时，f(x)＝g(x)；当x∈(0,1)时，f(x)g(x)．[一点通]研究幂函数的性质常借助于幂函数的图像，利用图像可以较直观地分析出相应函数的性质，进而利用性质来解决相关的问题．3．函数y＝(x2－2x)的定义域为()A．{x|x≠0，或x≠2}B．(－∞，0)∪(2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞)D．(0,2)解析：x应满足x2－2x0，解得x2或x0.答案：B－124．关于x的函数y＝(x－1)α(其中α的取值可以是1,2,3，－1，12)的图像恒过定点________．解析：因为幂函数y＝xα的图像恒过定点(1,1)，所以函数y＝(x－1)α恒过定点(2,1)．答案：(2,1)[例3]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝13x5；(2)f(x)＝3x2；(3)f(x)＝x2－4＋4－x2；(4)f(x)＝－x2＋2x－3，x＞0，x2＋2x＋3，x＜0.[思路点拨]首先要看定义域是否关于原点对称，然后通过f(－x)与f(x)的关系作出结论．对于(4)，要分别在x0和x0的情况下考察f(－x)与f(x)的关系．[精解详析](1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又∵f(－x)＝13－x5＝13－x5＝－13x5＝－f(x)，∴函数f(x)＝13x5是奇函数；(2)函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．又∵f(－x)＝3－x2＝3x2＝f(x)，∴f(x)＝3x2是偶函数；(3)易知定义域为{－2,2}，关于原点对称．f(x)＝0，所以满足f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)．所以f(x)既是奇函数又是偶函数；(4)当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)，综上可知，f(x)为奇函数．[一点通]利用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)先求函数的定义域，看定义域是否关于原点对称．(2)若定义域不关于原点对称，函数非奇非偶．若定义域关于原点对称，看f(－x)与f(x)及－f(x)的关系．(3)若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数；若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则函数既是奇函数又是偶函数．5．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：∵f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，∴f(－x)＝(－x＋1)(－x－a)＝f(x)恒成立．∴x2＋(a－1)x－a＝x2－(a－1)x－a恒成立．∴a－1＝0，即a＝1.答案：C6．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝3xx2＋3；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝2x2＋2xx＋1.解：(1)f(x)的定义域是R，又f(－x)＝3－x－x2＋3＝－3xx2＋3＝－f(x)，∴f(x)是奇函数；(2)f(x)的定义域是R，又f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数；(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．7．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域为[a－1,2a]，求f(x)的值域．解：∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，b＝0.∴a＝13，b＝0.即f(x)＝13x2＋1.所以f(x)＝13x2＋1在－23，23上的值域为1，3127.1．判断一个函数是否是幂函数应严格按其定义判断．2．幂函数性质可以通过其图像研究，只需掌握α＝1,2,3，12，－1这几种情况即可，其它的不做研究．3．判断函数的奇偶性的方法：(1)定义法；(2)图像法：若函数的图像关于原点对称，函数是奇函数；若函数的图像关于y轴对称，函数是偶函数．点击下列图片进入应用创新演练