2013高一数学必修1：第三章 §5 对数函数 5.1&5.2 对数函数的概念 y=log2x 的图

第三章指数函数和对数函数理解教材新知§5对数函数把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三5.1&5.2对数函数的概念y=log2x的图像和性质知识点一知识点二在前面我们讲过了指数函数：y＝ax(a0，且a≠1)．问题1：将指数式化成对数式得到什么？提示：x＝logay.问题2：在上述关系中，以y代替x，以x代替y得到什么关系？提示：y＝logax.1．对数函数的概念函数y＝(a0，a≠1)叫作对数函数，其中a叫作对数函数的，x是自变量．2．特殊的对数函数logax底数常用对数函数以为底的对数函数自然对数函数以为底的对数函数10y＝lgx无理数ey＝lnx考察指数函数y＝ax(a0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a0，且a≠1)．问题1：指数函数y＝ax(a0，且a≠1)x、y的范围是什么？提示：自变量x∈(－∞，＋∞)，函数值y∈(0，＋∞)．问题2：对数函数y＝logax(a0，且a≠1)，x、y的范围是什么？提示：x∈(0，＋∞)，y∈(－∞，＋∞)．问题3：这两个函数具有什么关系？提示：它们的定义域和值域互反，即y＝ax的定义域是y＝logax的值域；y＝ax的值域是y＝logax的定义域．指数函数y＝ax和对数函数y＝logax(a0，a≠1)之间的关系：原函数反函数指数函数y＝ax(a0，且a≠1)对数函数(a0，且a≠1)对数函数y＝logax(a0，且a≠1)指数函数(a0，且a≠1)y＝logaxy＝ax指数函数y＝ax(a0，a≠1)的定义域和值域分别是对数函数y＝logax(a0，a≠1)的和；反过来，对数函数y＝logax(a0，a≠1)的定义域和值域分别是指数函数y＝ax(a0，a≠1)的和，这样的两个函数叫作互为反函数.值域定义域值域定义域1．对数函数是一个形式定义，只有形如y＝logax(a0，且a≠1)的函数才是对数函数．2．指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1，x0)互为反函数，它们定义域与值域互反．[例1]求下列函数的定义域：(1)y＝lg(x＋1)＋3x21－x；(2)y＝log(x－2)(5－x)．[思路点拨]由题意列出不等式组，再解不等式组，得出函数的定义域．[精解详析](1)要使函数有意义，需x＋10，1－x0，即x－1，x1.∴－1x1，∴函数的定义域为(－1,1)．(2)要使函数有意义，需5－x0，x－20，x－2≠1，∴x5，x2，x≠3.∴定义域为(2,3)∪(3,5)．[一点通]求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．1．函数y＝log0.5x－5的定义域是()A．(0，＋∞)B．(5,6]C．(5，＋∞)D．(－∞，6]解析：由x－50，log0.5x－5≥0，得x5，x－5≤1，∴5x≤6，∴定义域为(5,6]．答案：B2．求下列函数的定义域：(1)y＝log3(1－x)；(2)y＝1log2x；(3)y＝log711－3x.解：(1)∵当1－x0，即x1时，函数y＝log3(1－x)有意义，∴函数y＝log3(1－x)的定义域为(－∞，1)；(2)由log2x≠0，得x0且x≠1.∴函数y＝1log2x的定义域为{x|x0，且x≠1}；(3)由11－3x0，得x13.∴函数y＝log711－3x的定义域为(－∞，13).[例2]求下列函数的反函数．(1)y＝10x;(2)y＝(45)x；(3)y＝log13x;(4)y＝log7x.[思路点拨]根据指数式与对数式的互化写出．[精解详析](1)指数函数y＝10x，它的底数是10，它的反函数是对数函数y＝lgx；(2)指数函数y＝(45)x，它的底数是45，它的反函数是对数函数y＝log45x；(3)对数函数y＝log13x，它的底数是13，它的反函数是指数函数y＝(13)x；(4)对数函数y＝log7x，它的底数是7，它的反函数是指数函数y＝7x.[一点通]反函数的求法：(1)由y＝ax(或y＝logax)解得x＝logay(或x＝ay)．(2)将x＝logay(或x＝ay)中的x与y互换位置，得y＝logax(或y＝ax)．(3)由y＝ax(或y＝logax)的值域，写出y＝logax(或y＝ax)的定义域．3．已知函数y＝ax与y＝logax，其中a＞0且a≠1，下列说法不正确的是()A．两者的图像关于直线y＝x对称B．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域C．两函数在各自的定义域内增减性相同D．y＝ax的图像经过平行移动可得到y＝logax的图像.解析：由于y＝ax与y＝logax互为反函数，图像关于y＝x对称，知A、B正确，当a1时，它们均为增函数，当0a1时，它们均为减函数．答案：D4．已知a0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图像只能是图中的()解析：y＝ax与y＝logax互为反函数，图像关于y＝x对称．而y＝loga(－x)与y＝logax关于y轴对称．∵在y＝loga(－x)中，－x0即x0，∴排除A、C.当0a1时，在D中，loga(－x)应是递增．故D错误．答案：B[例3]根据函数f(x)＝log2x的图像和性质解决以下问题．(1)若f(a)f(2)，求a的取值范围；(2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最值．[思路点拨]可先作出y＝log2x的图像，利用图像考察单调性解决问题．[精解详析]函数y＝log2x的图像如图．(1)因为y＝log2x是增函数，若f(a)f(2)，即log2alog22，则a2.所以a的取值范围为(2，＋∞)；(2)∵2≤x≤14，∴3≤2x－1≤27，∴log23≤log2(2x－1)≤log227.∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最小值为log23，最大值为log227.[一点通]函数f(x)＝log2x是最基本的对数函数．它在(0，＋∞)上是单调递增的．利用单调性可以解不等式、求函数值域、比较对数值的大小．5．设f(x)是奇函数，当x0时，f(x)＝log2x，则当x0时，f(x)等于()A．－log2xB．log2(－x)C．logx2D．－log2(－x)解析：∵x0，∴－x0.∴f(－x)＝log2(－x)．又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝－log2(－x)．答案：D6．利用函数f(x)＝log2x的图像和性质解决以下问题：(1)比较log245与log234的大小；(2)若log2(2－x)0，求x的取值范围．解：(1)函数f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，又∵4534，∴log245log234；(2)log2(2－x)0，即log2(2－x)log21，∵函数y＝log2x为增函数，∴2－x1，∴x1.∴x的取值范围为(－∞，1)．1．解与对数有关的问题，要首先保证在定义域范围内解题，即真数大于零，底数大于零且不等于1.2．指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们定义域与值域互反，图像关于直线y＝x对称．3．应注意数形结合思想在解题中的应用．点击下列图片进入应用创新演练