高考线性回归方程总结

第二讲线性回归方程一、相关关系：1、1||1||rr不确定关系：相关关系确定关系：函数关系2、相关系数：niiniiniiiyyxxyyxxr12121)()())((，其中：（1）负相关正相关00rr；（2）相关性很弱；相关性很强；3.0||75.0||rr例题1：下列两个变量具有相关关系的是（）A.正方形的体积与棱长；B.匀速行驶的车辆的行驶距离与行驶时间；C.人的身高和体重；D.人的身高与视力。例题2：在一组样本数据),,,2)(,(),,(),,(212211不全相等nnnxxxnyxyxyx的散点图中，若所有样本点),2,1)(,(niyxii都在直线121xy上，则样本相关系数为（）21.21.1.1.DCBA例题3：r是相关系数，则下列命题正确的是：（1）]75.0,1[r时，两个变量负相关很强；（2）]1,75.0[r时，两个变量正相关很强；（3）)75.0,3.0[]3.0,75.0(或r时，两个变量相关性一般；（4）（4）1.0r时，两个变量相关性很弱。3、散点图：初步判断两个变量的相关关系。例题4：在画两个变量的散点图时，下列叙述正确的是（）A.预报变量在x轴上，解释变量在y轴上；B.解释变量在x轴上，预报变量在y轴上；C.可以选择两个变量中的任意一个变量在x轴上；D.可以选择两个变量中的任意一个变量在y轴上；例题5：散点图在回归分析过程中的作用是（）A.查找个体个数B.比较个体数据的大小C.研究个体分类D.粗略判断变量是否线性相关二、线性回归方程：1、回归方程：axbyˆˆˆ其中2121121)())((ˆxnxyxnyxxxyyxxbniiniiiniiniii，xbyaˆˆ（代入样本点的中心）例题1：设),(),,(),,(2211nnyxyxyx是变量nyx的和个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（过一、二、四象限），以下结论正确的是（）A.直线l过点),(yxB.当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同C.的和yx相关系数在0到1之间D.的和yx相关系数为直线l的斜率例题2：工人月工资y（元）依劳动生产率x（千元）变化的回归直线方程为xy9060ˆ，下列判断正确的是（）A.劳动生产率为1000元时，工资为150元；B.劳动生产率提高1000元时，工资平均提高150元；C.劳动生产率提高1000元时，工资平均提高90元；D.劳动生产率为1000元时，工资为90元；例题3：设某大学的女生体重)(kgy与身高)(cmx具有线性相关关系，根据一组样本数据)2,1)(,(niyxii，用最小二乘法建立的回归方程为71.8585.0ˆxy，则不正确的是（）A.y与x具有正的线性相关关系；B.回归直线过样本点的中心),(yxC.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg例题4：为了了解儿子的身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高174176176176178儿子身高175175176177177则y对x的线性回归方程为（）A.1xyB.1xyC.xy2188D.176y2、残差：（1）残差图：横坐标为样本编号，纵坐标为每个编号样本对应的残差。（2）残差图呈带状分布在横轴附近，越窄模型拟合精度越高。（3）残差平方和niiiyy12)ˆ(越小，模型拟合精度越高。3、相关指数：niiniiiyyyyR12122)()ˆ(1（1）其中：niiiyy12)ˆ(为残差平方和；niiyy12)(为总偏差平方和。（2）)1,0(2R，越大模型拟合精度越高。例题5：下列说法正确的是（）（1）残差平方和越小，相关指数2R越小，模型拟合效果越差；（2）残差平方和越大，相关指数2R越大，模型拟合效果越好；（3）残差平方和越小，相关指数2R越大，模型拟合效果越好；（4）残差平方和越大，相关指数2R越小，模型拟合效果越差；A.（1）（2）B.（3）（4）C.（1）（4）D.（2）（3）例题6：关于回归分析，下列说法错误的是（）A.在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，则因变量不能由自变量唯一确定；B.线性相关系数r可以是正的，也可以是负的C.样本点的残差可以是正的，也可以是负的D.相关指数2R可以是正的，也可以是负的例题7：下列命题正确的是（）（1）线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱；（2）残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；（3）用相关指数2R来刻画回归效果，2R越小，说明模型的拟合效果越好；（4）随机误差e是衡量预报精确度的一个量，但它是一个不可观测的量；（5）ieˆ表示相应于点),(iiyx的残差，且0ˆ1niie。A.（1）（3）（5）B.（2）（4）（5）C.（1）（2）（4）D.（2）（3）例题8：已知x与y之间的几组数据如下表：x123456y021334假设根据上表数据所得的线性回归直线方程为axbyˆˆˆ。若某同学根据上表中的前两个数据)2,2(),0,1(求得的直线方程为axby，则下列结论正确的是（）A.aabbˆ,ˆB.aabbˆ,ˆC.aabbˆ,ˆD.aabbˆ,ˆ例题9：关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有下表所示的资料：使用年限23456维修费用2.23.85.56.57.0若由资料知，y对x呈线性相关关系，求：（1）线性回归方程axbyˆˆˆ中的回归系数baˆ,ˆ；（2）残差平方和与相关指数2R，作出残差图，并对该回归模型的拟合精度作出适当判断；（3）使用年限为10年时，维修费用大约是多少？三、非线性回归模型：例题1：如果样本点分布在某一条指数函数曲线bxaey的周围，其中a和b是参数，通过两边取自然对数的方法，把指数关系式变成对数关系式后，下列哪个变换结果是正确的（）A.abxylnlnB.abxylnlnC.abxylnlnlnD.abxylnlnln例题2：下列回归方程中，是线性回归方程；是非线性回归方程。（1）27.3688.0ˆxy（2）8.1225.0ˆ2xy（3）xey3.16.2ˆ（4）xy5.14ˆ（5）xey185.038.1ˆ例题3：某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。xyw821()iixx821()iiww81()()iiixxyy81()()iiiwwyy46.65636.8289.81.61469108.8表中w1=x1,，w=1881iw1（Ⅰ）根据散点图判断，yabx与ycdx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1v1）,（u2v2）……..（unvn）,其回归线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：^^^121()(),()niiiniiuuvvvuuu四、独立性检验：例题1：下表是一个22列联表：1y2y1xa21732x22527总计b46100则表中ba,的值分别为。例题2：可以粗略的判断两个分类变量是否有关系的是（）A.散点图B.残差图C.等高条形图D.以上都不对例题3：在等高条形图中，下列哪两个比值相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大（）A.dccbaa与B.dacdca与C.cbcdaa与D.cacdba与例题4：在判断两个分类变量是否有关系的常用方法中，最为精确的方法是（）A.考察随机误差eB.考察线性相关系数rC.考察相关指数2RD.考察独立性检验中的2K例题5：在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）。①若2k的观测值满足635.62k，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99&的可能患有肺病；③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误。A.①B.①③C.③D.②例题6：在调查学生数学成绩与物理成绩之间的关系时，得到如下数据（人数）：数学成绩与物理成绩之间有（）把握有关。A.B.C.D.