2017届一轮复习基本不等式(文) 课件

第3节基本不等式最新考纲1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识链条完善把散落的知识连起来【教材导读】1.不等式a2+b2≥2ab与a+b≥2ab的应用条件是什么?提示:在a2+b2≥2ab中,a,b∈R,而在a+b≥2ab中要求a0,b0.2.函数y=x+1x的值域,以及函数y=x+1x(x≥2)的值域均能利用基本不等式求解吗?若能,请求出其值域.若不能请说明理由?提示:对于函数y=x+1x可以利用基本不等式求解.当x0时,y=x+1x≥2(当且仅当x=1时取“=”);当x0时,y=x+1x=-(-x+1x)≤-2(当且仅当x=-1时取“=”);故其值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).而函数y=x+1x(x≥2)不能直接利用基本不等式求值域,因为取“=”号的条件不成立,可利用函数的单调性求解,函数y=x+1x(x≥2)在[2,+∞)上单调递增,故其值域为[52,+∞).知识梳理1.基本不等式:2ab≥ab(1)基本不等式成立的条件a≥0,b≥0.(2)等号成立的条件当且仅当时取等号.a=b(3)其中2ab称为正数a,b的,ab称为正数a,b的.算术平均数几何平均数2.利用基本不等式求最值(1)两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若a,b为正实数,且a+b=M,M为定值,则ab≤24M,等号当且仅当时成立.(简记:和定积最大)a=b(2)两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a,b为正实数,且ab=P,P为定值,则a+b≥2P,等号当且仅当时成立.(简记:积定和最小)a=b3.几个常用的不等式(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).(2)ab≤(2ab)2(a,b∈R).(3)(2ab)2≤222ab(a,b∈R).(4)ba+ab≥2(ab0).(5)211ab≤ab≤2ab≤222ab(a0,b0).记住这些不等式！夯基自测1.若a,b∈R,且ab0,则下列不等式中,恒成立的是()(A)a+b≥2ab(B)1a+1b2ab(C)ba+ab≥2(D)a2+b22abC解析:若a0,b0,选项A,B不成立.若a=b,则选项D不成立.因为ab0,所以ba0,ab0.所以ba+ab≥2baab=2.(当且仅当ba=ab,即a=b时取等号).根据基本不等式及其变形判断2.(2015高考福建卷)若直线xa+yb=1(a0,b0)过点(1,1),则a+b的最小值等于()(A)2(B)3(C)4(D)5C解析:法一因为直线xa+yb=1(a0,b0)过点(1,1),所以1a+1b=1,所以1=1a+1b≥211ab=2ab(当且仅当a=b=2时取等号),所以ab≥2.又a+b≥2ab(当且仅当a=b=2时取等号),所以a+b≥4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.法二因为直线xa+yb=1(a0,b0)过点(1,1),所以1a+1b=1,所以a+b=(a+b)(1a+1b)=2+ab+ba≥2+2abba=4(当且仅当a=b=2时取等号),故选C.3.(2016锦州质检)已知x0,y0,且x+y=34,则4x+1y的最小值为.解析:因为x0,y0,所以4x+1y=43(4x+1y)(x+y)=43(5+4yx+xy)≥43(5+24yxxy)=43×(5+4)=12.(当且仅当1,214xy时取“=”)答案:124.已知0x1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为,若x1,则x+41x的最小值为.解析:若0x1,则1-x0,所以x(3-3x)=3(1-x)x≤3×(12xx)2=34.(当且仅当x=12时取“=”)若x1,则x-10.所以x+41x=x-1+41x+1≥2411xx+1=5.(当且仅当x-1=41x,即x=3时取“=”)故x+41x的最小值为5.答案:125考点专项突破在讲练中理解知识考点一利用基本不等式求最值解析:(1)因为log4(3a+4b)=log2ab,所以log4(3a+4b)=log4(ab),即3a+4b=ab,且340,,abab＞＞0即a0,b0,所以4a+3b=1(a0,b0),a+b=(a+b)·(4a+3b)=7+4ba+3ab≥7+243baab=7+43,当且仅当4ba=3ab时取等号,故选D.【例1】(1)(2014高考重庆卷)若log4(3a+4b)=log2ab,则a+b的最小值是()(A)6+23(B)7+23(C)6+43(D)7+43化简确定条件1的代换构造基本不等式解析:(2)因为x+2y=(x+2y)(2x+1y)=2+4yx+xy+2≥8,当且仅当4yx=xy,即x=2y时等号成立.因为x+2ym2+2m恒成立,所以m2+2m8,m2+2m-80,解得-4m2.故选C.(2)(2015甘肃一诊)已知x0,y0,且2x+1y=1,若x+2ym2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()(A)(0,2](B)(0,2)(C)(-4,2)(D)(-2,4)转化为求最值问题，1的代换构造基本不等式求最值反思归纳(1)利用基本不等式求最值需注意以下三个方面:①各数(式)均为正;②和或积为定值;③等号能否成立.这三个条件缺一不可,为便于记忆简述为“一正、二定、三相等”.(2)合理拆分项或配凑因式或“1”代换是常用技巧,目的是构造出基本不等式的框架形式.(3)当多次使用基本不等式时,要保证等号能同时取得.【即时训练】(1)若函数f(x)=x+12x(x2)在x=a处取最小值,则a等于()(A)1+2(B)1+3(C)3(D)4解析:(1)f(x)=x+12x=(x-2)+12x+2≥2+2=4,当且仅当x-2=12x时取等号,此时x=3.故选C.答案:(1)C(2)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是.解析:(2)因为x+3y=5xy,且x0,y0.所以3x+1y=5,所以3x+4y=15(3x+4y)(3x+1y)=15(13+12yx+3xy)≥15(13+2123yxxy)=15(13+12)=5.当且仅当123,315,yxxyxy即1,12xy时取“=”.所以3x+4y的最小值是5.答案:(2)5考点二证明:因为x0,y0,z0,所以yx+zx≥2yzx0,xy+zy≥2xzy0,xz+yz≥2xyz0,所以(yx+zx)(xy+zy)(xz+yz)≥8yzxzxyxyz=8.当且仅当x=y=z时等号成立.利用基本不等式证明不等式【例2】已知x0,y0,z0.求证:(xy+zx)(xy+zy)(xz+yz)≥8.每个因式分别求最值反思归纳利用基本不等式证明不等式的策略(1)若要证明的不等式不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对要证不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件.(2)若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和要证不等式之间的联系,当已知条件中含有“1”时,要注意“1”的代换.(3)解题时要时刻注意取得等号的条件能否成立.【即时训练】设a,b均为正实数,求证:21a+21b+ab≥22.证明:由于a,b均为正实数,所以21a+21b≥22211ab=2ab,当且仅当21a=21b,即a=b时等号成立,又因为2ab+ab≥22abab=22,当且仅当2ab=ab时等号成立,所以21a+21b+ab≥2ab+ab≥22,当且仅当2211,2ababab即a=b=42时取等号.考点三基本不等式的实际应用【例3】小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业,经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元,每生产x万件,需另投入流动成本为W(x)万元,在年产量不足8万件时,W(x)=13x2+x(万元).在年产量不小于8万件时,W(x)=6x+100x-38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商品能当年全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)解:(1)因为每件商品售价为5元,则x万件商品销售收入为5x万元,依题意得,当0x8时,L(x)=5x-(13x2+x)-3=-13x2+4x-3;当x≥8时,L(x)=5x-(6x+100x-38)-3=35-(x+100x).所以L(x)=2143,08.310035,8.xxxxxx＜＜解:(2)当0x8时,L(x)=-13(x-6)2+9.此时,当x=6时,L(x)取得最大值L(6)=9万元,当x≥8时,L(x)=35-(x+100x)≤35-2100xx=35-20=15,此时,当且仅当x=100x时,即x=10时,L(x)取得最大值15万元.因为915,所以当年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为15万元.(2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?反思归纳应用基本不等式解决实际问题的基本步骤(1)理解题意,设出变量,建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;(2)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(3)还原为实际问题,写出答案.【即时训练】(2014高考福建卷)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是()(A)80元(B)120元(C)160元(D)240元解析:设该容器的总造价为y元,长方体的底面矩形的长为xm,因为无盖长方体的容积为4m3,高为1m,所以长方体的底面矩形的宽为4xm,依题意,得y=20×4+10(2x+24x)=80+20(x+4x)≥80+20×24xx=160(当且仅当x=4x,即x=2时取等号).所以该容器的最低总造价为160元.故选C.备选例题【例1】设函数f(x)=x+1ax,x∈[0,+∞).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;解:(1)当a=2时,f(x)=x+21x=x+1+21x-1≥22-1,当且仅当x+1=21x,即x=2-1时取等号,所以f(x)min=22-1.解:(2)当0a1时,任取0≤x1x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[1-1211axx].因为0a1,(x1+1)(x2+1)1,所以1-1211axx0,因为x1x2,所以x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0,故f(x1)f(x2),即f(x)在[0,+∞)上为增函数.所以f(x)min=f(0)=a.(2)当0a1时,求函数f(x)的最小值.解:由题意可得,总造价y=3×2x×150+3×12x×400+5800=900(x+16x)+5800(0x≤a),则y=900(x+16x)+5800≥900×216xx+5800=13000,当且仅当x=16x,即x=4时取等号.【例2】某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过am.房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5800元,如果墙高为3m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低?若a≥4,则当x=4时,y有最小值13000;若a4,任取x1,x2∈(0,a]且x1x2.y1-y2=900(x1+116x)+5800-900(x2+216x)-5800=90012121116xxxx=12121290016xxxxxx.因为x1x2≤a,所以x1-x20,x1x2a216,即x1x2-160.所以y