高中数学 学案44利用向量方法求空间角

学案44利用向量方法求空间角导学目标：1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别，体会求空间角中的转化思想．自主梳理1．两条异面直线的夹角①定义：设a，b是两条异面直线，在直线a上任取一点作直线a′∥b，则a′与a的夹角叫做a与b的夹角．②范围：两异面直线夹角θ的取值范围是_______________________________________．③向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有cosθ＝________＝_______________.2．直线与平面的夹角①定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角．②范围：直线和平面夹角θ的取值范围是______________________________________．③向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|或cosθ＝sinφ.3．二面角(1)二面角的取值范围是____________．(2)二面角的向量求法：①若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB→与CD→的夹角(如图①)．②设n1，n2分别是二面角α—l—β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．自我检测1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为________．2．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则l1与l2所成的角等于________．3．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于________．4．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为________________________________________________________________________．5．(2010·铁岭一模)已知直线AB、CD是异面直线，AC⊥CD，BD⊥CD，且AB＝2，CD＝1，则异面直线AB与CD所成的角的大小为________．探究点一利用向量法求异面直线所成的角例1已知直三棱柱ABC—A1B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D为B1C1的中点，求异面直线BD和A1C所成角的余弦值．变式迁移1如图所示，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC所成的角．探究点二利用向量法求直线与平面所成的角例2如图，已知平面ABCD⊥平面DCEF，M，N分别为AB，DF的中点，求直线MN与平面DCEF所成的角的正弦值．变式迁移2如图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，点F是AE的中点．求AB与平面BDF所成的角的正弦值．探究点三利用向量法求二面角例3如图，ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝BC＝BA＝1，AD＝12，求面SCD与面SBA所成角的余弦值大小．变式迁移3如图，在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC中点．(1)证明：SO⊥平面ABC；(2)求二面角A—SC—B的余弦值．探究点四综合应用例4如图所示，在三棱锥A—BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝3，BD＝CD＝1，另一个侧面ABC是正三角形．(1)求证：AD⊥BC；(2)求二面角B－AC－D的余弦值；(3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．变式迁移4(2011·山东，19)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.(1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；(2)若AC＝BC＝2AE，求二面角A－BF－C的大小．1．求两异面直线a、b的所成的角θ，需求出它们的方向向量a，b的夹角，则cosθ＝|cos〈a，b〉|.2．求直线l与平面α所成的角θ.可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角．则sinθ＝|cos〈n，a〉|.3．求二面角α—l—β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角．则θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin〈DB1→，CM→〉的值等于________．2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成的角的大小为________．3．如图，在正四面体ABCD中，E、F分别是BC和AD的中点，则AE与CF所成的角的余弦值为________．4．(2011·南通模拟)如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知B1C，C1D与上底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成的余弦值为________．5．P是二面角α—AB—β棱上的一点，分别在α、β平面上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α—AB—β的大小为________．6．(2011·无锡模拟)已知正四棱锥P—ABCD的棱长都相等，侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是________．7．如图，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°且PA＝AC＝BC＝a，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于________．8．如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为________．二、解答题(共42分)9．(14分)如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8.BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD.(1)求二面角B－AD－F的大小；(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值．10．(14分)(2011·大纲全国，19)如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值．11．(14分)(2011·湖北，18)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．(1)当CF＝1时，求证：EF⊥A1C；(2)设二面角C－AF－E的大小为θ，求tanθ的最小值．学案44利用向量方法求空间角答案自主梳理1．②0，π2③|cosφ|a·b|a|·|b|2.②0，π23.(1)[0，π]自我检测1．45°或135°2.90°3.30°4.60°5.60°课堂活动区例1解题导引(1)求异面直线所成的角，用向量法比较简单，若用基向量法求解，则必须选好空间的一组基向量，若用坐标求解，则一定要将每个点的坐标写正确．(2)用异面直线方向向量求两异面直线夹角时，应注意异面直线所成的角的范围是0，π2解如图所示，以C为原点，直线CA、CB、CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设CA＝CB＝CC1＝2，则A1(2,0,2)，C(0,0,0)，B(0,2,0)，D(0,1,2)，∴BD→＝(0，－1,2)，A1C→＝(－2,0，－2)，∴cos〈BD→，A1C→〉＝BD→·A1C→|BD→||A1C→|＝－105.∴异面直线BD与A1C所成角的余弦值为105.变式迁移1解∵BA1→＝BA→＋BB1→，AC→＝AB→＋BC→，∴BA1→·AC→＝(BA→＋BB1→)·(AB→＋BC→)＝BA→·AB→＋BA→·BC→＋BB1→·AB→＋BB1→·BC→.∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴BA→·BC→＝0，BB1→·AB→＝0，BB1→·BC→＝0，BA→·AB→＝－a2，∴BA1→·AC→＝－a2.又BA1→·AC→＝|BA1→|·|AC→|·cos〈BA1→，AC→〉，∴cos〈BA1→，AC→〉＝－a22a×2a＝－12.∴〈BA1→，AC→〉＝120°.∴异面直线BA1与AC所成的角为60°.例2解题导引在用向量法求直线OP与α所成的角(O∈α)时，一般有两种途径：一是直接求〈OP→，OP′→〉，其中OP′为斜线OP在平面α内的射影；二是通过求〈n，OP→〉进而转化求解，其中n为平面α的法向量．解设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图．则M(1,0,2)，N(0,1,0)，可得MN→＝(－1,1，－2)．又DA→＝(0,0,2)为平面DCEF的法向量，可得cos〈MN→，DA→〉＝MN→·DA→|MN→||DA→|＝－63.所以MN与平面DCEF所成的角的正弦值为|cos〈MN→，DA→〉|＝63.变式迁移2解以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)，F(1,0,1)．∴BD→＝(0,2,1)，DF→＝(1，－2,0)．设平面BDF的一个法向量为n＝(2，a，b)，∵n⊥DF→，n⊥BD→，∴n·DF→＝0，n·BD→＝0.即2，a，b·1，－2，0＝0，2，a，b·0，2，1＝0.解得a＝1，b＝－2.∴n＝(2,1，－2)．设AB与平面BDF所成的角为θ，则法向量n与BA→的夹角为π2－θ，∴cosπ2－θ＝BA→·n|BA→||n|＝2，0，0·2，1，－22×3＝23，即sinθ＝23，故AB与平面BDF所成的角的正弦值为23.例3解题导引图中面SCD与面SBA所成的二面角没有明显的公共棱，考虑到易于建系，从而借助平面的法向量来求解．解建系如图，则A(0,0,0)，D12，0，0，C(1,1,0)，B(0，1,0)，S(0,0,1)，∴AS→＝(0,0,1)，SC→＝(1,1，－1)，SD→＝12，0，－1，AB→＝(0,1,0)，AD→＝12，0，0.∴AD→·AS→＝0，AD→·AB→＝0.∴AD→是面SAB的法向量，设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)，则有n·SC→＝0且n·SD→＝0.即x＋y－z＝0，12x－z＝0.令z＝1，则x＝2，y＝－1.∴n＝(2，－1,1)．∴cos〈n，AD→〉＝n·AD→|n||AD→|＝2×126×12＝63.故面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值为63.变式迁移3(1)证明由题设AB＝AC＝SB＝SC＝SA.连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以OA＝OB＝OC＝22SA，且AO⊥BC.又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且SO＝22SA.从而OA2＋SO2＝SA2，所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO.又AO∩BC＝O，所以SO⊥平面ABC.(2)解以O为坐标原点，射线OB、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O－xyz，如图．设B(1,0,0)，则C(－1,0,0)，A(0,1,0)，S(0,0,1)．SC的中点M－12，0，12，MO→＝12，0，－12，MA→＝12，1，－12，SC→＝(－1,0，－1)，∴MO→·SC→＝0