高中数学 对数与对数函数

菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）第六节对数与对数函数菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．对数的概念如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作____________．2．对数的性质、换底公式与运算性质x＝logaN性质①loga1＝___，②logaa＝___，③alogaN＝___换底公式logab＝_____(a，c均大于0且不等于1，b＞0)01Nlogcblogca菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝_______________，②logaMN＝_______________，③logaMn＝nlogaM(n∈R).logaM＋logaNlogaM－logaN菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）3.对数函数的定义、图象与性质定义函数_________(a＞0且a≠1)叫做对数函数图象a＞10＜a＜1y＝logax菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）性质定义域：____________值域：_____________当x＝1时，y＝0，即过定点___________当0＜x＜1时，y＜0;当x＞1时，________.当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，____．在(0，＋∞)上为_________在(0，＋∞)上为___________(0，＋∞)(－∞，＋∞)(1，0)y＞0y＜0增函数减函数菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）4.反函数指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数_________(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称．y＝logaxy＝x菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．如何确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系？你能得到什么规律？【提示】作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．∴0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）2．当对数logab的值为正数或负数时，a，b满足什么条件？【提示】若logab＞0，则a，b∈(1，＋∞)或a，b∈(0，1)，简记为a，b在相同的区间内；若logab＜0，则a∈(1，＋∞)且b∈(0，1)或a∈(0，1)且b∈(1，＋∞)，简记为a，b在不同的区间内．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．(人教A版教材习题改编)2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4【解析】2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.【答案】C菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【解析】由题意知f(x)＝logax，又f(2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2.∴f(x)＝log2x，故选D.【答案】D2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于()A.12xB．2x－2C．log12xD．log2x菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【答案】D3．如果log12x＜log12y＜0，那么()A．y＜x＜1B．x＜y＜1C．1＜x＜yD．1＜y＜x【解析】∵y＝log12x是(0，＋∞)上的减函数，∴x＞y＞1.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）4．(2013·苏州模拟)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．【解析】函数f(x)的定义域为(－12，＋∞)，令t＝2x＋1(t＞0)．因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝2x＋1在(－12，＋∞)上为增函数，所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间为(－12，＋∞)．【答案】(－12，＋∞)菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）5．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________．【解析】∵f(x)＝lgx，∴f(a2)＋f(b2)＝2lga＋2lgb＝2lgab.又f(ab)＝1，∴lgab＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝2.【答案】2菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【思路点拨】(1)根据乘法公式和对数运算性质进行计算；(2)将对数式化为指数式或直接代入求解．(1)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n；(2)计算（1－log63）2＋log62·log618log64；(3)计算(log32＋log92)·(log43＋log83)．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【尝试解答】(1)法一∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.法二∵loga2＝m，loga3＝n，∴a2m＋n＝(am)2·an＝(aloga2)2·aloga3＝22×3＝12.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(2)原式＝1－2log63＋（log63）2＋log663·log6（6×3）log64＝1－2log63＋（log63）2＋（1－log63）（1＋log63）log64＝1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2log64＝2（1－log63）2log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.(3)原式＝(lg2lg3＋lg2lg9)·(lg3lg4＋lg3lg8)＝(lg2lg3＋lg22lg3)·(lg32lg2＋lg33lg2)＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常用到换底公式及其推论；在对含字母的对数式化简时必须保证恒等变形．2．ab＝N⇔b＝logaN(a＞0且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意互化．3．利用对数运算法则，在积、商、幂的对数与对数的和、差、倍之间进行转化．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(1)(2013·宝鸡模拟)计算(lg14－lg25)÷100－12＝________．(2)(2013·大连模拟)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝________．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【解析】(1)原式＝(lg1100)÷110＝－20.(2)∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m∴1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2.∴m2＝10，∴m＝10.【答案】(1)－20(2)10菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(1)(2013·长沙质检)函数y＝ax2＋bx与y＝log|ba|x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是()菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）A．(1，10)B．(5，6)C．(10，12)D．(20，24)【思路点拨】(1)根据函数y＝ax2＋bx与x轴的交点确定|ba|的范围．(2)画出f(x)的图象，确定a，b，c的范围．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【尝试解答】(1)令ax2＋bx＝0得x＝0或x＝－ba.对于A、B项，由抛物线知，0＜|ba|＜1，此时，对数函数图象不合要求，故A、B项不正确；对于C项，由抛物线知|ba|＞1，此时，对数函数图象不合要求，故C不正确；对于D项，由抛物线知0＜|ba|＜1，此时对数函数的图象符合要求，故选D.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(2)作出f(x)的大致图象．不妨设a＜b＜c，因为a、b、c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，由函数的图象可知10＜c＜12，且|lga|＝|lgb|，因为a≠b，所以lga＝－lgb，可得ab＝1，所以abc＝c∈(10，12)，故选C.【答案】(1)D(2)C菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．解答本题(1)时，可假设一个图象正确，然后看另一个图象是否符合要求；对于本题(2)根据|lga|＝|lgb|得到ab＝1是解题的关键．2．对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解．3．一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(1)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝lgx，h(x)＝log3x，直线y＝a(a＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()A．x2＜x3＜x1B．x1＜x3＜x2C．x1＜x2＜x3D．x3＜x2＜x1(2)(2012·皖南八校第三次联考)若函数f(x)＝loga(x＋b)的大致图象如图2－6－2，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是()菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【解析】(1)在同一坐标系中画出三个函数的图象及直线y＝a(a＜0)，易知x1＞x3＞x2，故选A.(2)由对数函数递减得0＜a＜1，且f(0)＝logab∈(0，1)⇒0＜a＜b＜1，所以函数g(x)单调递减，且g(0)＝a0＋b＝1＋b∈(1，2)．【答案】(1)A(2)B菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【思路点拨】(1)利用真数大于0构建不等式，但要注意分类讨论，(2)先由条件求出a的值，再讨论奇偶性和单调性．已知函数f(x)＝log2x＋2a＋1x－3a＋1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【尝试解答】(1)x＋2a＋1x－3a＋1＞0⇒[x－(3a－1)][x－(－2a－1)]＞0，所以，当3a－1≥－2a－1，即a≥0时，定义域为(－∞，－2a－1)∪(3a－1，＋∞)；当3a－1＜－2a－1，即a＜0时，定义域为(－∞，3a－1)∪(－2a－1，＋∞)．(2)函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，当且仅当－2a－1＝－(3a－1)⇒a＝2，此时，f(x)＝log2x＋5x－5.对于定义域D＝(－∞，－5)∪(5，＋∞)内任意x，－x∈D，f(－x)＝log2－x＋5－x－5＝log2x－5x＋5＝－log2x＋5x－5＝－f(x)，所以f(x)为奇函数；菜单课后作业