高中数学 导数在研究函数中的应用

菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内___________；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内___________；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是__________．单调递增单调递减常数函数菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）2．函数的极值与导数(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值__________，且f′(a)＝0，而且在x＝a附近的左侧__________，右侧____________，则a点叫函数的极小值点，f(a)叫函数的极小值．都小f′(x)0f′(x)0菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(2)函数的极大值与极大值点：若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值_________，且f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧____________，右侧____________，则b点叫函数的极大值点，f(b)叫函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．都大f′(x)0f′(x)0菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）3．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条_________的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的________．②将函数y＝f(x)的各极值与_______________________比较，其中_______的一个是最大值，______的一个是最小值．连续不断极值端点处的函数值f(a)、f(b)最大最小菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件吗？【提示】函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）2．导数值为0的点一定是函数的极值点吗？它是可导函数在该点取得极值的什么条件？【提示】不一定．如函数f(x)＝x3，在x＝0处，有f′(0)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点，对于可导函数，若x＝x0为其极值点，则需满足以下两个条件：①f′(x0)＝0，②x＝x0两侧的导数f′(x)的符号异号．因此f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在点x＝x0取得极值的必要不充分条件．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．(人教A版教材习题改编)当x＞0时，f(x)＝x＋4x的单调减区间是()A．(2，＋∞)B．(0，2)C．(2，＋∞)D．(0，2)菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【解析】f′(x)＝1－4x2，令f′(x)＜0，∴1－4x2＜0，x＞0，∴0＜x＜2，∴f(x)的减区间为(0，2)．【答案】B菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）2．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2B．3C．4D．5【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意知f′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2×(－3)a＋3＝0，解得a＝5.【答案】D菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图2－11－1所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【解析】导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，故选A.【答案】A菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）4．函数f(x)＝12x2－lnx的最小值()A.12B．1C．不存在D．0【解析】f′(x)＝x－1x＝x2－1x，且x＞0，令f′(x)＞0，得x＞1；令f′(x)＜0，得0＜x＜1.∴f(x)在x＝1时取最小值f(1)＝12－ln1＝12.【答案】A菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）5．(2012·陕西高考)设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【解析】∵f(x)＝xex，∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．∴当f′(x)≥0时，即ex(1＋x)≥0，即x≥－1，∴x≥－1时函数y＝f(x)为增函数．同理可求，x－1时函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．【答案】D菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(2012·课标全国卷)设函数f(x)＝ex－ax－2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x0时，(x－k)f′(x)＋x＋10，求k的最大值．【思路点拨】(1)分a≤0和a＞0两种情况解不等式f′(x)＞0与f′(x)＜0.(2)分离参数k，转化为恒成立问题求解．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【尝试解答】(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，则f′(x)0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a0，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)0.所以，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(2)由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.故当x0时，(x－k)f′(x)＋x＋10等价于kx＋1ex－1＋x(x0)．①令g(x)＝x＋1ex－1＋x，则g′(x)＝－xex－1（ex－1）2＋1＝ex（ex－x－2）（ex－1）2.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)0，h(2)0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点，故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1，2)．当x∈(0，α)时，g′(x)0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)0.所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2，3)．由于①式等价于kg(α)，故整数k的最大值为2.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．解答本题(2)时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．2．(1)在区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．(3)由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）已知函数f(x)＝x＋ax＋lnx(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．【解】(1)函数f(x)＝x＋ax＋lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax2＋1x＝x2＋x－ax2.①当Δ＝1＋4a≤0，即a≤－14时，得x2＋x－a≥0，则f′(x)≥0.∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）②当Δ＝1＋4a＞0，即a＞－14时，令f′(x)＝0，得x2＋x－a＝0，解得x1＝－1－1＋4a2＜0，x2＝－1＋1＋4a2.(ⅰ)若－14＜a≤0，则x2＝－1＋1＋4a2≤0.∵x∈(0，＋∞)，∴f′(x)＞0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(ⅱ)若a＞0，则x∈(0，－1＋1＋4a2)时，f′(x)＜0；菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）x∈(－1＋1＋4a2，＋∞)时，f′(x)＞0，∴函数f(x)在区间(0，－1＋1＋4a2)上单调递减，在区间(－1＋1＋4a2，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a＞0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，－1＋1＋4a2)，单调递增区间为(－1＋1＋4a2，＋∞)．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(2)由题意知，f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即x2＋x－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－a＝(x＋12)2－14－a，则g(x)＞2－a，从而2－a≥0，∴a≤2.当a＝2时，f′(x)＞0在(1，＋∞)上恒成立，因此实数a的取值范围是(－∞，2].菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(2013·合肥模拟)设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．【思路点拨】(1)当a＝43时，求f′(x)＝0的根，然后利用极值与导数的关系判定；(2)转化为判定f′(x)不变号满足的不等式，求a的范围．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【尝试解答】由f(x)＝ex1＋ax2，得f′(x)＝ex·1＋ax2－2ax（1＋ax2）2①(1)当a＝43时，f′(x)＝ex（1＋43x2－83x）（1＋43x2）2＝ex（4x2－8x＋3）3（1＋43x2）2，菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）令f′(x)＝0，即ex(4x2－8x＋3)＝0，∵ex恒大于0，∴4x2－8x＋3＝0，∴x＝12或x＝32.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）结合①式，可知所以，x1＝32是极小值点，x2＝12是极大值点．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号．结合①式，及a＞0，得ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立．所以二次方程1＋ax2－2ax＝0无解或有两个相同实数解，Δ＝4a2－4a≤0，即0≤a≤1.