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第一章常用逻辑用语1．4全称量词与存在量词1．4.1全称量词1．4.2存在量词1.理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念．2．能准确地使用全称量词和存在量词符号(即∀，∃)来表述相关的数学内容．3．掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法.目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩新知视界1．全称量词和全称命题(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)全称命题：①定义：含有全称量词的命题，叫做全称命题．②一般形式：全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．其中M为给定的集合，p(x)是一个关于x的命题．思考感悟如何判断全称命题的真假呢？提示：要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．2．存在量词和特称命题(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并且符号“∃”表示．(2)特称命题：①定义：含有存在量词的命题，叫做特称命题．②一般形式：特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．思考感悟如何判断特称命题的真假呢？提示：要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题是假命题．尝试应用1．“a∥α，则a平行于α内任一条直线”是()A．真命题B．全称命题C．特称命题D．不含量词的命题解析：命题中含有“任一”全称量词，故为全称命题．答案：B2．既是特称命题，又是真命题的是()A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个x∈R，使x2≤0C．两个无理数的和是无理数D．存在一个负数x，使1x2解析：如x＝0时，x2＝0，满足x2≤0.答案：B3．下列命题是假命题的是()A．∀x∈R,3x0B．∀x∈N，x≥1C．∃x∈Z，x1D．∃x∈Q，x∉Q解析：当x＝0时，0∈N，但01.故“∀x∈N，x≥1”是假命题．答案：B4．下列命题：①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是________，既是特称命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序号)．解析：①是全称命题，是真命题；②是全称命题，是真命题；③是全称命题，即：任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；④含存在量词“有的”，是特称命题，是真命题；⑤是特称命题，是真命题；⑥是特称命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°.答案：①②③④⑤5．用符号“∀”或“∃”表示下面的命题，并判断真假：(1)实数的平方大于或等于0；(2)存在一对实数(x，y)，使2x－y＋10成立；(3)勾股定理．解：(1)是全称命题，隐藏了全称量词“所有的”．∀x∈R，x2≥0.是真命题．(2)∃x∈R，y∈R,2x－y＋10，是真命题．如x＝0，y＝2时：2x－y＋1＝0－2＋1＝－10成立．(3)这是全称命题，所有直角三角形都满足勾股定理．即∀Rt△ABC，a，b为直角边长，c为斜边长，a2＋b2＝c2.是真命题．典例精析类型一全称命题与特称命题的判定[例1]指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x0∈R，使1x0－1＝0；(3)存在一组m、n的值，使m－n＝1；(4)至少有一个集合A，满足A{1,2,3}．[分析]首先判断命题中含有哪种量词，进而确定是哪种命题，然后正面推理证明或举反例说明命题的真假．[解](1)是全称命题．因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是特称命题．因为不存在x0∈R，使1x0－1＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是特称命题．当m＝4，n＝3时，使m－n＝1成立，所以该命题是真命题．(4)是特称命题．存在A＝{3}，使A{1,2,3}成立，所以该命题是真命题．[点评]1.要判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词，要注意的是有些全称命题的叙述中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．3．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．迁移体验1指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断它们的真假．(1)对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立．(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．(3)对数函数都是单调函数．(4)∀x∈R，x2－3x＋2＝0.解：(1)全称命题，因为x＝0时，x2＋x＋1＝1≠0，故是假命题．(2)特称命题，是真命题，比如10既能被2整除，又能被5整除．(3)全称命题，是真命题．(4)全称命题，是假命题，因为只有x＝2或x＝1时满足．类型二全称命题与特称命题的表述[例2](1)设集合S＝{四边形}，p(x)：内角和为360°.试用不同的表述写出全称命题“∀x∈S，p(x)”．(2)设q(x)：x2＝x，试用不同的表达方法写出特称命题“∃x∈R，q(x)”．[分析]由题目可获取以下主要信息：①第(1)小题是全称命题，第(2)小题是特称命题；②要求分别用不同的方式表示各自的命题．解答本题应先分清是全称命题还是特称命题，再选取合适的量词用不同的方式来表述．[解](1)依题意可得以下几种不同的表述：对所有的四边形x，x的内角和为360°；对一切四边形x，x的内角和为360°；每一个四边形x的内角和为360°；任一个四边形x的内角和为360°；凡是四边形x，它的内角和为360°.(2)依题意可得以下几种不同的表述：存在实数x0，使x20＝x0成立；至少有一个x0∈R，使x20＝x0成立；对有些实数x0，使x20＝x0成立；有一个x0∈R，使x20＝x0成立；对某一个x0∈R，使x20＝x0成立．迁移体验2用全称量词或存在量词表示下列语句．(1)n边形的内角和等于(n－2)×180°；(2)两个有理数之间，都有一个有理数；(3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0.解：(1)一切n边形的内角和都等于(n－2)×180°；(2)任意两个有理数之间，都有一个有理数；(3)存在一个实数x，它乘以任意一个实数都等于0.类型三全称命题与特称命题的真假判断[例3]给出下列四个命题．①∀x∈R，x2＋20；②∀x∈N，x4≥1；③∃x0∈Z，x301；④∃x0∈Q，x20＝3.其中是真命题的是________(把所有真命题的序号都填上)．[分析]由题目可获取以下主要信息：①四个命题中有两个全称命题，两个特称命题；②要求判断命题的真假．解答本题首先正确理解命题的含义，再采用举反例等方法给予判断．[解析]①由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥20，即x2＋20.所以命题“∀x∈R，x2＋20”是真命题．②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．③由于－1∈Z，当x＝－1时，x31成立．所以命题“∃x0∈Z，x301”是真命题．④由于使x2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数．因此，没有任何一个有理数的平方等于3.所以命题“∃x0∈Q，x20＝3”是假命题．[答案]①③[点评]1.全称命题的真假判断要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．2．特称命题的真假判断要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．迁移体验3判断下列命题的真假．(1)∀x∈{1,3,5},3x＋1是偶数；(2)∃x0∈R，x20－6x0－5＝0；(3)∃x0∈R，x20－x0＋1＝0；(4)∀x∈R，|x＋1|0.解：(1)∵3×1＋1＝4,3×3＋1＝10,5×3＋1＝16均为偶数，∴是真命题．(2)∵x20－6x0－5＝0中，Δ＝36＋20＝560，∴方程有两个不相等的实根，∴是真命题．(3)∵x20－x0＋1＝0中，Δ＝1－4＝－30，∴x20－x0＋1＝0无解，∴是假命题．(4)∵x＝－1时，|－1＋1|＝0，∴是假命题．类型四全称命题与特称命题的应用[例4]函数f(x)对一切实数x、y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.(1)求f(0)的值；(2)在(0,4)上存在实数x0，使得f(x0)＋6＝ax0成立，求实数a的取值范围．[解](1)由已知等式f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)·x，令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2，又因为f(1)＝0，所以f(0)＝－2.(2)令y＝0，则f(x＋y)－f(y)＝f(x)－f(0)＝f(x)＋2＝(x＋2×0＋1)x＝x2＋x，∴f(x)＋6＝x2＋x＋4.∴要使在(0,4)上存在x0使f(x0)＋6＝ax0成立，只需在(0,4)存在x0使a＝x0＋4x0＋1.而x＋4x＋1≥4＋1＝5，等号当且仅当x＝2时成立．故所求的取值范围a≥5.[点评]全称命题真，意味着对限定集合中的每一个元素都能具有某性质，使所给语句真．因此，当给出限定集合中的任一个特殊的元素时，自然应导出“这个特殊元素具有这个性质”(这类似于“代入”思想)．而特称命题为真，则只需在给定的集合中，找到一个元素具有某性质，使该语句为真即可．解决有关存在性命题的参数取值范围问题，应尽量分离参数，若得到g(a)＝f(x)成立，则只需求f(x)的值域B，进而确定使g(a)∈B的a的值即可．若g(x)f(x)，则只需确定g(a)f(x)的最小值即可．类似地，对于全称命题(特别是恒成立)的问题，也应尽量用分离参数法来求解．迁移体验4已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)0成立，求实数m的取值范围．解：(1)不等式m＋f(x)0可化为m－f(x)，即m－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m－4.(2)不等式m－f(x0)0可化为mf(x0)，若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)成立，只需mf(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m4.所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．思悟升华1．一般地，设p(x)是某集合M的所有元素都具有或都不具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的所有x有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．2．一般地，设q(x)是某集合M的有些元素x具有或不具有的某种性质，那么特称命题就是形如“存在集合M中的元素x，使q(x)成立”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x)．3．应当指出，同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法．现列表总结于下，在实际应用中可以灵活地选择：命题全称命题“∀x∈A，p(x)”特称命题“∃x∈A，p(x)”表述方法①所有的x∈A，p(x)成立②对一切x∈A，p(x)成立③对每一个x∈