高中数学 1.1.1《正弦定理》课件(新人教B版必修5)

1.1.1正弦定理1、边的关系：2、角的关系：3、边角关系：1）两边之和大于第三边；两边之差小于第三边2）在直角三角形中：a2+b2=c21）A+B+C=1800CBAsin)sin()2CBAcos)cos(2cos2sinCBA1）大边对大角，大角对大边，等边对等角2）在直角三角形ABC中,C=900,则cbAcaAcos,sin回顾三角形中的边角关系:一、前提测评1、知识目标(1)使同学们理解正弦定理的推导过程(2)能应用正弦定理解斜三角形2、能力目标培养同学们分析归纳的能力、分析问题解决问题的能力二、展示目标对任意三角形,这个等式都会成立吗?怎么证明这个结论？ABCcbasinaAc=sinbBc=1sinC在直角三角形中:,,sinsinsinabccccABC===sinsinsinabcABC\==正弦定理的发现1、当ABC为锐角三角形时，如图（1）证明:过A作单位向量垂直,jAC与则的夹角为________,的夹角为________,的夹角为________.j与ACj与ABj与CB已知:ABC中，CB=a,AC=b,AB=c.求证:sinsinsinabcABC==90O090A-090C-ACBabcj方法一(向量法)（一）正弦定理的证明ACBabcACCBAB+=().jACCBjAB\+=.jACjCBjAB+=即000||||cos90||||cos(90)||||(90).jACjCBCjABCOSA\+-=-sinsinaCcA\=sinsinacAC\=sinsincbCB=同理可得sinsinsinabcABC\==2、当ABC为钝角三角形时，不妨设090A?ABCabc如图,同样可证得sinsinsinabcABC\==即等式对任意三角形都成立证法二：(等积法)在任意斜ABC当中作AD⊥BC于D∴1ABC2Sah∵sinhbC1ABC2sinSabC∴1ABC2sinSacB同理可证1ABC2sinSbcADABCcabhsinsinsinacBabCbcAsinsinsinabcABC\==证法三：(外接圆法)如图所示,作ABC外接圆则2sinsinaaCDRAD∴同理2sinbRB2sincRC∴RCcBbAa2sinsinsin（R为ABC外接圆半径）ABCabcOD∠A=∠D正弦定理在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即注意：定理适合任意三角形。正弦定理的应用:一、解斜三角形；二、在三角形中实现边角互化.2sinsinsinabcRABC===（2R是三角形外接圆的直径）正弦定理在解斜三角形中的两类应用:(1)、已知两角和任一边,求一角和其他两条边.(2)、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(进而求其他的角和边)2sinsinsinabcRABC===ABaCAaabB例1.已知在ΔABC中，c=10,A=450,C=300,求a,b和B解：∵c=10A=450,C=300∴B=1800-(A+C)=1050由=得a===10sinaAsinsinaAC0010sin45sin30sincC由=得b===20sin750=20×=5+5sinbBsincCsinsincBC0010sin105sin3062462例题讲解：3例2、在ΔABC中，b=,B=600,c=1,求a和A，C解：∵=sinbBsincC∴sinC===sincBb01sin60312∴B=900a==222bc∵bc,B=600∴CB,C为锐角，∴C=300例3、ΔABC中,c=,A=450a=2,求b和B、C6解：∵=sinaAsincC∴sinC==sinC==sincAa06sin45232b===+1sinsincBC006sin75sin603∴C=600∴当C=600时，B=750或C=120024∴当C=1200时，B=150，b===-1∴b=+1,B=750，C=600或b=-1，B=150，C=1200sinsincBC006sin15sin60333请同学们思考两个问题：1.为什么会出现两个解？2.当a=1时C有几个解；当a=时C有几个解；当a=3时C有几个解325A90°时A=90°时A90°时ab1解ab1解ab1解a=b无解a=b无解a=b1解ab无解ab无解ab1、bsinAab2解2、a=bsinAb1解3、absinA无解已知两边一对角解的分布表（如已知a,b,角A）四、反馈练习1、根据下列条件确定△ABC有两个解的是（）A.a=18B=300A=1200B.a=60c=48C=1200C.a=3b=6A=300D.a=14b=15A=4502、根据下列条件解三角形(1)已知在△ABC中a=8,B=600,C=450,求b(2)已知在△ABC中b=,c=1,B=450,求C2由正弦定理可得：006sin8sin60434sinsin4522cBbC由正弦定理可得：00sin2sin45sin1,901cBCCb答案：1、由正弦定理可得：A:B：由于ac，故AC，无解C：D：336120sin30sin18sinsin00ABab一解0090,1330sin6sinsinBaAbB)(142151445sin15sinsin0两解bacCbB3、△ABC中，sinAsinB是AB()D即不必要也非充分条件A充分非必要条件C充要条件B必要非充分条件解：在△ABC中，由正弦定理可知BbAasinsin又因为sinAsinB,所以ab,根据“大边对大角”，得：AB所以sinAsinB是AB的充分条件反之由AB根据“大角对大边”的ab，由正弦定理BbAasinsin可以推出sinAsinB所以sinAsinB是AB的必要条件综上sinAsinB是AB的充要条件