高中数学 1.3.1函数的基本性质-单调性(一)

宏翔高级中学薛志刚北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？xyo1yxxyo1yxxyo2yx在某一区间内，当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。先下降后上升下降上升思考:1.函数在区间上随着x的增大函数值也增大,那么在区间上任意两个不同的,试问与有什么关系?2()fxx0,0,12,xx1()fx2()fx2.能推广到一般的函数在区间D上随着的增大,相应的值也增大(或减小),能用数学语言与符号表示吗?()yfxx()fx当时,;12xx12()()fxfx当时,.12xx12()()fxfxOxyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,X2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2)，那么就说在f(x)这个区间上是单调增函数,D称为f(x)的单调区间.单调增函数的定义:那么就说在f(x)这个区间上是单调增函数，D称为f(x)的单调增区间.那么就说在f(x)这个区间上是单调减函数，D称为f(x)的单调减区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，单调区间判断1：函数f(x)=x2在是否为单调增函数；,（1）如果函数y=f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间D上具有单调性。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;xyo2yx(不是)（1）如果函数y=f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间D上具有单调性。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;判断2：定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1)，则函数f(x)在R上是增函数；（3）x1,x2取值的任意性yxO12f(1)f(2)例1下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象，根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区间上，y＝f（x）是增函数还是减函数.[1，3），[3，5].解：y＝f（x）的单调区间有[－5，－2），[－2，1）其中y＝f（x）在[－5，－2），[1，3）上是减函数，在[－2，1），[3，5）上是增函数.1xy-1-23-5O12345-2-3-42-1看下列函数图象,下列各函数有没有单调区间,若有写出其单调区间.图1图3图2没有单调区间减区间增区间,00,没有单调区间画出函数图象1yx探究(1)这个函数的定义域是什么?(2)它在定义域上的单调性是怎么样的?函数的定义域为_____________,00,思考:若将改为,则函数的单调性又如何?1yx(0,0)kykxxx1yxy01yx(,0)(0,),在为减函数.例2.物理学中的玻意耳定律(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积减小时,压强p将增大,试用函数的单调性证明之.kpV则1212()()kkpVpVVV2112VVkVV12,0,VV，且12VV21120,0VVVV1212()()0,()()pVpVpVpV所以函数在区间上是减函数.,0,kpVV0,证明：设是定义域上任取两个实数,且0,12VV12,VV又0k,于是取值作差变形定号结论证明函数单调性的一般步骤:取值作差变形定号结论2.证明函数在上是减函数.21yx,1.证明函数在上是减函数.1yx,0证明证明(2)一次函数的单调性又如何?(0)ykxbk(1)反比例函数的单调性？(0)kyxx(可分k0,k0讨论)探究思考:1.若在R上是减函数,且,求实数m的取值范围.()yfx(2)(1)fmfm2.观察下列函数图象,除了单调性,你还能发现函数的哪些性质?小结1.函数单调性的定义中有哪些关键点？2.判断函数单调性有哪些常用方法？3.你学会了哪些数学思想方法？作业2、证明函数f（x）=-x2在上是减函数。,03、证明函数f（x）=在上是单调递增的。(选做)0,11xx1、教材p39/1,2,3返回证明：在区间上任取两个值且,012,xx12xx则121211()()fxfxxx2112xxxx12,,0xx，且12xx12210,0xxxx1212()()0,()()fxfxfxfx所以函数在区间上是减函数.1yx,0返回证明：在区间上任取两个值且,12,xx12xx则1212()()21(21)fxfxxx122121xx212()xx12xx12,,xx，且210xx1212()()0,()()fxfxfxfx所以函数在区间上是减函数.21yx,返回