数系的扩充与复数的引入

数系的扩充复数的概念X江西省泰和中学刘日升2012年3月第4章数系的扩充与复数的引入4.１数系的扩充数系的扩充复数的概念数系的扩充自然数整数有理数无理数实数NZQR用图形表示包含关系：复习回顾数系的扩充复数的概念知识引入对于一元二次方程没有实数根．012x我们已知知道：12x因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根。数系的扩充复数的概念我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？思考？12i引入一个新数：i满足如何解决“在实数范围中开方运算不总实施的矛盾”？数系的扩充复数的概念现在我们就引入这样一个数i，把i叫做虚数单位，并且规定：（1）i21；（2）实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。思考:a+bi，a∈R，b∈R在i规定下，i与实数加乘的结果形式如何？数系的扩充复数的概念复数有关概念③复数Z=a+bi(a∈R，b∈R)把实数a，b叫做复数的实部和虚部。形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.1.定义:②全体复数所组成的集合叫复数集，记作C。注意:①复数通常用字母z表示，即复数a+bi（a∈R，b∈R)可记作:z=a+bi（a∈R，b∈R），把这一表示形式叫做复数的代数形式。请同学观察复数的代数形式会发现什么?数系的扩充复数的概念实部复数的代数形式：通常用字母z表示，即biaz),(RbRa虚部其中称为虚数单位。i复数集C和实数集R之间有什么关系？讨论？复数a+bi000000bababb，非纯虚数，纯虚数虚数实数000000bababb，非纯虚数，纯虚数虚数实数CR数系的扩充复数的概念复数a+bi0)00)0)00)babbab实数(纯虚数(，虚数(非纯虚数(，2.复数的分类：复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？思考？复数集虚数集实数集纯虚数集数系的扩充复数的概念1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。72618.0i725+8i29331i2ii02、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则Z=a一定不是虚数数系的扩充复数的概念例1实数m取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？immz)1(1解:（1）当，即时，复数z是实数．01m1m（2）当，即时，复数z是虚数．01m1m（3）当0101mm即时，复数z是纯虚数．1m练1.实数m取什么值时，复数z=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i(1)是实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？解：(1)当m2-5m-6=0时，即m=6或m=-1时，z为实数(3)当时，m2-3m-4=0m2-5m-60即m=4时，z为纯虚数(4)当时，m2-3m-4=0m2-5m-6=0即m=-1时，z为零数系的扩充复数的概念0bia则__________ba我们知道若如何定义两个复数的相等？注意：一般对两个复数只能说相等或不相等；不能比较大小。00如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．,,,,Rdcba若dicbiadbca数系的扩充复数的概念如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．例2已知，其中求iyyix)3()12(Ryx,.yx与解：更具复数相等的定义，得方程组)3(112yyx解得4,25yx,,,,Rdcba若dicbiadbca数系的扩充复数的概念如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．,,,,Rdcba若dicbiadbca2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)=0，求x的值.i1、若x，y为实数，且求x，yiyixyx4222数系的扩充复数的概念1.虚数单位i的引入；2.复数有关概念：),(RbRabiaz复数的代数形式:复数的实部、虚部复数相等虚数、纯虚数dicbiadbcai为-1的一个、-1的另一个;一般地，a(a0)的平方根为、平方根平方根为-iaia-a(a0)的平方根为a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的条件.必要但不充分数系的扩充复数的概念例.用配方法解下列方程(1)x2-2x+3=0；(2)x2-x+1=0；(3)2x2-x+1=0.数系的扩充复数的概念*Znni424ni34ni14ni1-1iiB数系的扩充复数的概念复数的发展史在19世纪可没那么简单．第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位.后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用．1830年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数a＋bi，使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.