信号与系统的范数

第二章信号与系统的范数什么是范数？范数是一种运算，满足以下四条性质：(1)(2)(3)(4)一、信号的范数1-Norm:2-Norm:（信号的能量）∞-Norm:（信号的峰值）以上三种范数中，2-Norm用得比较多，也更有意义。如果一个信号的2-Norm是有限的，就称为能量有限信号。信号的平均功率：如果这个极限存在，就称信号为功率信号。信号的平均功率的平方根记为：注意，不是范数，因为不满足性质(2)。显然，对于一个能量有限的非零信号，。1-Norm、2-Norm、∞-Norm和之间有什么关系？1.如果，那么。证明：2.如果，且，那么。证明：3.如果，且，那么，因而有。证明：二、系统的范数2-Norm:∞-Norm:如果是稳定的，那么根据Parseval定理，有其中，。其物理意义是：对于稳定的系统，等于系统的脉冲响应的能量。的∞-Norm的物理意义是：的Nyquist曲线上的点离原点最远的距离，也表示的Bode幅频特性曲线的峰值。以二阶系统为例，其Bode图如图1所示。图1性质：引理1的2-Norm有限，当且仅当是严真的，且在虚轴上没有极点；的∞-Norm有限，当且仅当是真的，且在虚轴上没有极点。系统范数的计算最后的积分是沿虚轴向上，然后沿包围左半平面的无穷大半圆的回路积分。假设是严真的，且在虚轴上没有极点，则沿无穷大半圆的积分等于0。根据留数定理，等于在它的左半平面极点上的留数的和。例1考察。在左半平面的极点是，则在这一极点上的留数等于10-210-1100101102-180-135-90-450Phase(deg)BodeDiagramFrequency(rad/sec)-80-70-60-50-40-30-20-1001020System:PFrequency(rad/sec):0.935Magnitude(dB):6.3Magnitude(dB)因此，。可以通过解方程找到取最大值的频率点。例2考察。因为是的偶函数，所以只需考虑的情形。若，则，即单调递增。所以，。若，则，即单调递减。所以，。因此，。我们也可以从的Bode幅频特性曲线上得到结论，如图2（）和图3（）所示。图2高通图3低通05101520Magnitude(dB)10-310-210-110010110203060Phase(deg)BodeDiagramFrequency(rad/sec)-20-15-10-50Magnitude(dB)10-310-210-1100101102-60-300Phase(deg)BodeDiagramFrequency(rad/sec)三、功率分析为功率信号，定义其自相关函数为显然，当时，这里，我们重新定义功率信号：对所有的（而不仅仅是），都存在的信号。性质：证明：由Cauchy-Schwarz不等式，得令，且两边同时乘以，得两边同时令，得是关于时间的函数，对应的傅里叶变换将从时域映射到频域上。令表示的傅里叶变换，则（信号的功率谱密度）即和互为傅里叶变换对。当时，因此，我们可以定义信号的功率密度为。注意功率密度与功率谱密度之间的关系。现在考察两个功率信号和，它们的互相关函数为其傅里叶变换为信号和的互功率谱密度。考虑一个线性系统，假定其传递函数是稳定的和真的，输入为，输出为，那么我们有下面一些有用的结论。1.证明：2.，这里证明：同理可得3.证明：