2018届高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理课件理

理数课标版第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1.正弦定理和余弦定理教材研读定理正弦定理余弦定理内容① = = =2R(R是△ABC外接圆半径)a2=b2+c2-2bccosA;b2=②a2+c2-2accosB;c2=③a2+b2-2abcosC变形形式(1)a=2RsinA,b=④2RsinB,c=⑤2RsinC;(2)sinA= ,sinB=⑥ ,sinC=⑦ ;(3)a∶b∶c=⑧sinA∶sinB∶sinC;(4)asinB=bsinA,bsinC=csinB,cosA=⑨ ;cosB=⑩ ;cosC=  应用类型(1)已知两角和任一边,求另一角和其他两条边;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角(1)已知三边,求各角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角aAsinbBsincCsina2Rb2Rc2R222bca2bc222acb2ac222abc2ab2.解三角形在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:上表中,若A为锐角,当absinA时无解;若A为钝角或直角,当a≤b时无解.A为锐角A为钝角或直角图形    关系式a=bsinAbsinAaba≥bab解的个数 一解 两解 一解 一解3.三角形面积设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,面积为S.(1)S= ah(h为边a上的高).(2)S= absinC=  acsinB= bcsinA. 121212121.在△ABC中,a=3,b=5,sinA= ,则sinB=()A. B. C. D.1答案B根据 = ,有 = ,得sinB= .故选B.13155953sinaAsinbB3135sinB592.(2016课标全国Ⅰ,4,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a= ,c=2,cosA= ,则b= ()A. B. C.2D.352323答案D由余弦定理得5=22+b2-2×2bcosA,∵cosA= ,∴3b2-8b-3=0,∴b=3 .故选D.2313b舍去3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C= ,则△ABC的面积是 ()A.3B. C. D.3 39323323答案Cc2=(a-b)2+6即c2=a2+b2-2ab+6①.由C= 及余弦定理得c2=a2+b2-ab②,由①和②得ab=6,∴S△ABC= absinC= ×6× = ,故选C.31212323324.在△ABC中,BC=2,AC= ,B= ,则AB=,△ABC的面积是.答案3; 73332解析由余弦定理,得AC2=BC2+AB2-2BC·ABcos ,∴AB=3(负值舍去),∴S△ABC= AB·BC·sin = .31233325.已知△ABC中,三个内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且a=1,b= ,A=30°,则c=.答案1或23解析∵a=1,b= ,A=30°,∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得1=3+c2-3c,即c2-3c+2=0,解得c=1或c=2.3考点一利用正弦、余弦定理解三角形考点突破典例1(2015安徽,16,12分)在△ABC中,∠A= ,AB=6,AC=3 ,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解析设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,342由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3 )2+62-2×3 ×6×cos =18+36-(-36)=90,所以a=3 .由正弦定理得sinB= = = ,223410sinbBACa33101010由题设知0B ,所以cosB= = = .在△ABD中,由正弦定理得AD= = = = .421sinB111031010sinsin(2)ABBB6sin2sincosBBB3cosB10规律总结(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角范围的限制.1-1设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA= acosB.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.解析(1)已知bsinA= acosB,33由正弦定理得sinBsinA= sinAcosB.在△ABC中,sinA≠0,即得tanB= ,∴B= .(2)∵sinC=2sinA,∴由正弦定理得c=2a,333结合b2=a2+c2-2accosB,及b=3,B= ,3得9=a2+4a2-2a·2acos ,解得a= (负值舍去),∴c=2a=2 .333考点二利用正弦、余弦定理判断三角形的形状典例2设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为 ()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案B解析由已知及正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,即sin(B+C)=sin2A,又sin(B+C)=sinA,∴sinA=1,∴A= .故选B.2方法技巧判断三角形形状的常用技巧若已知条件中有边又有角,则(1)化角为边:利用正弦定理、余弦定理、因式分解、配方等得出边的关系,从而判断三角形的形状.(2)化边为角:利用正弦定理、余弦定理、三角恒等变形得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用“△ABC中,A+B+C=π”这个结论.变式2-1若将本例条件中的“bcosC+ccosB=asinA”改为“2sinAcosB=sinC”,试判断△ABC的形状.解析解法一:2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,即sin(A-B)=0,因为-πA-Bπ,所以A=B,故△ABC为等腰三角形.解法二:由条件及正弦定理得2acosB=c,再由余弦定理得2a· =c⇒a2=b2⇒a=b,即△ABC为等腰三角形.2222acbac变式2-2若将本例条件中的“bcosC+ccosB=asinA”改为“acosA=bcosB”,试判断△ABC的形状.解析由条件及正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB⇒sin2A=sin2B,又A、B均为△ABC的内角,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= .所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.2考点三与三角形面积有关的问题典例3(2016课标全国Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c= ,△ABC的面积为 ,求△ABC的周长.解析(1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC, (2分)2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC. (4分)可得cosC= ,所以C= . (6分)(2)由已知,得 absinC= .733212312332又C= ,所以ab=6. (8分)3由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.所以a+b=5. (10分)所以△ABC的周长为5+ . (12分)7规律总结(1)求三角形ABC的面积时,常用公式S= absinC= acsinB= bcsinA,一般根据已知角具体选择.(2)解决与面积有关的问题,一般要利用正弦定理、余弦定理进行边和角的转化.3-1(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求 ;(2)若AD=1,DC= ,求BD和AC的长.121212sinsinBC22解析(1)S△ABD= AB·ADsin∠BAD,12S△ADC= AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.在△ABC中,由正弦定理可得 = = .(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD= .在△ABD和△ADC中,由余弦定理知12sinsinBCACAB122AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.