圆锥曲线与方程__经典中的经典

1圆锥曲线与方程1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．4．了解圆锥曲线的初步应用．圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解．②圆锥曲线的几何性质的应用．2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．第1课时椭圆项目内容第一定义平面内与两个定点12,FF的距离之和等于常数（大于12||FF）的点的轨迹叫椭圆。第二定义平面内到定点与到定直线的距离之比为常数(01)ee的点的轨迹叫椭圆。注：左焦点到左准线距离比为e。基础过关知识网络考纲导读高考导航圆锥曲线椭圆定义标准方程几何性质双曲线定义标准方程几何性质抛物线定义标准方程几何性质第二定义第二定义统一定义直线与圆锥曲线的位置关系椭圆双曲线抛物线a、b、c三者间的关系2图形标准方程22221()xyaboab22221()xyaboba统一形式BABAByAx且,0,0122几何性质范围||,||xayb||,||xbya顶点与长短轴的长1212(,0),(,0),2(0,),(0,),2AaAaaBbBbb长轴长短轴长1212(0,),(0,),2(,0),(,0),2AaAaaBbBbb长轴长短轴长焦点焦距1222212(,0),(,0)||2()FcFcFFccab其中1222212(0,),(0,)||2()FcFcFFccab其中准线方程2axc2ayc焦半径左00211exaxcaeedPF右0122exaPFaPF下1020,PFaeyPFaey上焦点到准线距离22abpccc离心率2(01),1cbeeeaa（e越小，椭圆越近似于圆）刻画椭圆的扁平程度准线间距22adc对称性椭圆都是关于,xy轴成轴对称，关于原点成中心对称通径22bqa。因为关于x轴对称，过右焦点，所以21PFPF222212122cPFPFaPFPF，所以abPF222焦点三角形椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形，其周长为22ac，解题中常用余弦定理和勾股定理来进行相关的计算焦点弦三角形椭圆的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形，其周长为4a。参数方程cos(sinxayb为参数）cos(sinxbya为参数）注意：1、椭圆按向量(,)amn平移后的方程为：2222()()1xmynab或2222()()1xmynba，平移不改变点与点之间的相对3位置关系（即椭圆的焦准距等距离不变）和离心率。2、弦长公式：已知直线：ykxb与曲线交于两点1122(,),(,)AxyBxy，则22212112||1||1()4ABkxxkxxxx或2121122211||1||1()4AByyyyyykk3、中点弦问题的方法：①方程组法，②代点作差法。两种方法总体都体现设而不求的数学思想。4、具特殊联系的椭圆的方程（1）共焦距的椭圆的方程0,0122yx（且为常数，2c）（2）同离心率的椭圆的方程0,0122yx且为常数，（22ab或22ba）5、①当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段．②当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹不存在．设M为椭圆上任意一点，21,FF分别为椭圆两焦点，21,AA分别为椭圆长轴端点，则有（1）明朗的等量关系：aMFMF221（解决双焦点半径问题的首选公式）（2）隐蔽的不等关系：aMAMA221，cMFMF221，（寻求某些基本量取值范围时建立不等式的基本依据）6．焦点三角形应注意以下关系：(1)定义：r1＋r2＝2a(2)余弦定理：21r＋22r－2r1r2cos＝(2c)2(3)面积：21FPFS＝21r1r2sin＝21·2c|y0|=2tan2b(其中P(00,yx)为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝)注解：22121221212221221,cos22cos2bPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFFF2tancos1sincos1sincos1sin224cos1242222212bSbSSbSbPFPFb例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程（考查直接运用定义求轨迹）：（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10；192522yx（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点)25,23(；161022xy（3）长轴长是短轴长的3倍，并且椭圆经过点A（-3，3）22221,128364843xyxy（4）离心率为23，且经过点（2，0）的椭圆的标准方程是．1416142222xyyx或．（5）离心率为35，一条准线方程为3x，中心在原点的椭圆方程是．1209522yx．（6）设)5,0(),5,0(CB，ABC的周长为36，则ABC的顶点A的轨迹方程是)0(114416922xxy．（7）椭圆方程为12322yx，则焦点坐标为，顶点坐标为，长轴长为，短轴长为，典型例题4离心率为，准线方程为26;33;332;2);0,33(),22,0();66,0(y．（8）已知椭圆短轴上的两个三等份点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为．1010e．解：A,B三等分点，所以32bAB，21AFAF,bacbABOFOAAFAF3103121,221（9）直线xy22与椭圆)0(12222babyax的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为．22．解：因为交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，所以设ccBccA22,,22,，将A点代入椭圆方程0202,2212222242242222222222222bababbaabacbacacbbcacbcboraba舍）(22222（10）如图，正六边形ABCDEF的两个顶点A，D为椭圆的两个焦点，其余四个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率的值是_________．3－1．解：连接AD,FD，因为正六边形ABCDEF，所以tRAFDS为,060FAD,所以cFDcAFAD3,,c213131,32aceccFDAFa说明：有关离心率的计算，一是利用的几何图形特征直接求解，二是设法找出a、b、c的等量或不等量关系，得出关于e的方程或不等式求解．（11）已知方程22112xymm表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________，若该方程表示双曲线，则m的取值范围是_______．（1，32），（－∞，1）∪（2，＋∞）．解：椭圆12010m-2mmm,双曲线(2-m)(m-1)0（12）若椭圆1422ymx的离心率为21，则m为．3或316．解：316334332233123222122222ambcborbmbcacbcabaccaac（13）已知椭圆22(3)(0)xmymm的离心率是e＝32，求m的值、椭圆长轴长和短轴长、焦点坐标、顶点坐ABCDEF（第（4）题图）5标．解：,3,1322mmmmmymx焦点在x轴上，22222,23,3,bacacmmbma10ormm，2241xy，2a＝2，2b＝1，F)0,23(，A(±1，0)，B(0，±)21．说明：由方程对应的曲线，有关参数的讨论，常需要将曲线的方程化为标准方程来处理（有时需要分类讨论）．（14）已知椭圆2212516xy上一点P到椭圆左焦点距离为3，则P到椭圆左准线的距离为_________；点P的到x轴的距离是．点P的到y轴的距离是．5；,310,453．（15）点P为椭圆22221xyab(0)ab上一点，F1，F2为椭圆的焦点，如果1275PFF，2115PFF，则椭圆的离心率为_____．63．解：因为1275PFF，2115PFF，所以,22,222212121cPFPFaPFPFPFPF332,32,3275tan1,75cos15sin75sin221021020201aPFPFPFPFPFPFPFPF3696361234834842222acaccPF（16）如图，F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点，A，B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为12．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l1：x＋3y＋3＝0相切．（1）求椭圆的方程；（2）过点A的直线l2与圆M交于P，Q两点，且MP·MQ＝－2，求直线l2的方程．解：（1）0030,,2,21,603,3,221FCBBFBCcBFBFOFBFOOFOBcbcaac,FC=2FB=4c,B,C,F确定圆，，所以FC为直径，所以圆心为（c,0），又因为圆与直线l1：x＋3y＋3＝0相切，，所以c=1,2,3ab,所以椭圆的方程为x24＋y23＝1；（2）MPQ中，,2,2MQMP2cosQMPMQMPMQMP,0120QMP,M到PQ得距离为130sin0MP，设直线0,1,2:2Mxkyl到直线的距离为1，所以,42kx±22y＋2＝0．变式训练1：根据下列条件求椭圆的标准方程(1)和椭圆1202422yx共准线，且离心率为21．(2)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为534和532，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点xyABFO6解：(1)设椭圆方程)0,0(12222babyax，则其准线为12x．22222112cbaacca解得336ba所求椭圆方程为1273622yx．(2)52221PFPFa，5a．由5322ab，得3102b．所求椭圆方程为1103522yx或1103522xy．例2.已知点P(3,4)是椭圆2222byax＝1(ab0)上的一点，F1、F2是它的两焦点，若PF1⊥PF2，求：(1)椭圆的方程；(2)△PF1F2的面积．解：（1）法一：令F1(－C，