圆锥曲线中定点和定值问题的解题方法

相关知识点：含义含有可变参数的曲线系所经过的点中不随参数变化的某个点或某几个点定点解法把曲线系方程按照参数进行集项，使得方程对任意参数恒成立的方程组的解即为曲线系恒过的定点含义不随其他量的变化而发生数值变化的量定值解法建立这个量关于其他量的关系式，最后的结果与其他变化的量无关定点问题1：直线过定点【听课手册P41页】4．[2013·陕西卷改编]已知点B(－1，0)，抛物线y2＝8x，不垂直于x轴的直线交抛物线于不同的P，Q两点．若x轴为∠PBQ的平分线，则直线PQ恒过定点________．【例题】已知抛物线y2＝8x，直线l交抛物线于不同的P，Q两点．若0OPOQ，则直线PQ恒过定点________．一、定点的探究与证明问题【说明】解圆锥曲线中的定点问题可以先研究一下特殊情况，找出定点，再视具体情况进行研究．同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点问题的选择题或填空题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等。一、定点的探究与证明问题【茂名二模】20、已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆2222:1(0)xyEabab过点3(3,)2P，离心率为12，过直线4:xl上一点M引椭圆E的两条切线，切点分别是A、B．（1）求椭圆E的方程；（2）若在椭圆012222babyax上的任一点00,Nxy处的切线方程是12020byyaxx，求证：直线AB恒过定点C，并求出定点C的坐标。定点问题1：直线过定点一、定点的探究与证明问题定点问题2：圆过定点【揭阳一模】在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C的方程为24xy，设直线2:lykxm与曲线C有唯一公共点P，且与直线1:1ly相交于点Q,试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由.一、定点的探究与证明问题【方法小结】1、证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程，根据方程的成立与参数值无关得出关于x，y的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点．2、探索动曲线过定点可以从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关。一、定点的探究与证明问题【听课手册P41页】3．[2012·辽宁卷改编]已知过点(0，1)的直线与抛物线x2＝4y交于不同的两点A，B，过A，B分别作抛物线的切线，则两切线交点的纵坐标为定值，这个定值是________．二、定值的探究与证明问题【说明】定值问题就是证明一个量与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表达求证目标，通过运算求证目标的取值与变化的量无关．当使用直线的斜率和截距表达直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决．解圆锥曲线中的定值问题可以先研究一下特殊情况，找出定值，再视具体情况进行研究．同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定值问题的选择题或填空题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等。二、定值的探究与证明问题【汕头二模】已知椭圆C：222210xyabab的一个焦点为(2,0)F，其短轴上的一个端点到F的距离为3，（1）求椭圆C的离心率及其方程；（2）点00,Pxy是圆G：224xy上的动点，过点P做椭圆C的切线12,ll交圆G于点M，N，求证：线段MN的长为定值。二、定值的探究与证明问题【说明】1、从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．2、直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。【变式】已知椭圆为2213xy，△ABC的三个顶点都在椭圆上，设三条边AB、BC、AC的中点分别为M、N、P，设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3（ki≠0,i=1,2,3），若直线OM，ON，OP的斜率之和为0.求证：123111kkk为定值。二、定值的探究与证明问题【解题探究】证明为定值的两关键点:①表示:将中的量k1,k2,k3用_________________表示；②化简：利用约束条件：____________化简得定值.123111kkk123111kkk动点M,N,P的坐标kOM+kON+kOP=0二、定值的探究与证明问题【变式】已知椭圆为2213xy，设N(0，1)，过点P(－1，－2)作直线l交椭圆于不同于N的两点A，B，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值。二、定值的探究与证明问题【方法小结】求解定值问题的两大途径(1)由特例得出一个值(此值一般就是定值)证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值.例2如图17­2所示，F是抛物线y2＝2px(p0)的焦点，点A(4，2)为抛物线内一定点，点P为抛物线上一动点，|PA|＋|PF|的最小值为8.图17­2(1)求抛物线方程．(2)若O为坐标原点，问是否存在点M，使过点M的动直线与抛物线交于B，C(与原点不重合)两点，且以BC为直径的圆恰好过坐标原点．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【听课手册P42页】补充题目如图所示，已知椭圆C：x24＋y2＝1，A，B是四条直线x＝±2，y＝±1所围成的长方形的两个顶点．(1)设P是椭圆C上任意一点，若OPmOAnOB，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程．(2)若M，N是椭圆C上的两个动点，且直线OM，ON的斜率之积等于直线OA，OB的斜率之积，试探究△OMN的面积是否为定值，并说明理由．补充题目