圆锥曲线定点定值问题

沙县一中陈丽娟2018.4.23圆锥曲线中的定值与定点问题是高考常考问题，往往作为试卷的压轴题之一，试题难度较大.本考点主要考查化归和数形结合的思想，常常与向量、平面几何结合，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求。命题规律：返回解：（1）由23e得23ac。由顶点M,N的距离为5，得522ba；[例1]如图，设椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)离心率e＝23，顶点M，N的距离为5，O为坐标原点。(1)求椭圆E的方程；(2)过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A,B两点，试判断点O到直线AB的距离是否为定值，若是请求出这个定值，若不是请说明理由.又由222cba，解得1,2ba，所以椭圆C的方程为.1422yx思路一：设出直线AB的方程，求出点O到直线AB的距离返回（2）当直线AB的斜率不存在时，不妨设直线OA：y=x,将y=x代入1422yx，解得x=,552所以点O到直线AB的距离为d=,552△ABC为等腰直角三角形，返回当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，联立方程组44,22yxmkxy，消去y得0448)41(222mkmxxk由△0得1422km设,,,,2211yxByxA,4144,4182221221kmxxkkmxx因为OA⊥OB，所以所以点O到直线AB的距离所以整理得。即化为综上可知，点O到直线AB的距离为定值.5521)1(5422kk分析：ABOBOAd，(2)过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A,B两点，试判断点O到直线AB的距离是否为定值，若是请求出这个定值，若不是请说明理由.思路二：转化为求直角三角形斜边上的高22222222OBOAOBOAABOBOAd，222111OBOAd，点A为射线OA与椭圆交点解法二：（2）当直线OA的斜率不存在时，552,1,2ABOBOAdOBOA552d同理，当直线OA的斜率为0时，解法二：若直线OA斜率存在且不为0，设直线OA：y=kx,则直线OB：xky1联立方程组44,22yxkxy，解得220414kx,.552综上可知，点O到直线AB的距离为定值,4)1(4222kkOB同理，.552d2222222111,OBOAOBOAOBOAdABOBOAd,41)1(4)1(222202kkkxOA45)1(44)1(4412222kkkk规律小结圆锥曲线中定值问题的常用解法将该问题涉及的几何量转化为代数式或三角问题，在求解推理过程中，将参数消去，定值显现。[例2]在平面直角坐标系xOy中，设点P(x，y)，M(x，－4)，以线段PM为直径的圆经过原点O.(1)求动点P的轨迹W的方程；(2)过点E(0，－4)的直线l与轨迹W交于两点A，B，点A关于y轴的对称点为C，求证：直线BC过定点，并求定点坐标．解：(1)由题意可得OP⊥OM，所以OP·OM＝0，即x2－4y＝0，所以动点P的轨迹W的方程为x2＝4y.解(2)依题直线l的斜率存在．设其方程为y＝kx－4，由y＝kx－4，x2＝4y，消y，整理得x2－4kx＋16＝0，YBACXOE则Δ＝16k2－64＞0，即|k|＞2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(－x1，y1)．x1＋x2＝4k，x1x2＝16.(2)过点E(0，－4)的直线l与轨迹W交于两点A，B，点A关于y轴的对称点为C，求证：直线BC过定点，并求定点坐标．思路一：写出直线BC方程，证明其过定点直线BC为y－y2＝y2－y1x2＋x1(x－x2)，∴y＝y2－y1x2＋x1(x－x2)＋y2＝x22－x214x1＋x2(x－x2)＋14x22＝x2－x14x－x22－x1x24＋14x22＝x2－x14x＋x1x24.即y＝x2－x14x＋4，所以，直线BC恒过定点(0,4)．YBACXOE由对称性可知，若直线BC恒过定点，则定点在y轴上。YBACXOER思考：能否找到定点所在位置？思路二：转化为证明直线BC与y轴交点为定点（2）解法二：由对称性可知，若直线BC恒过定点，则定点在y轴上。令x=0,则y＝y2－y1x2＋x1(－x2)＋y2＝-x2‘x2－x14＋14x22＝x1x24＝4，YBACXOER直线BC为y－y2＝y2－y1x2＋x1(x－x2)，所以，直线BC恒过定点(0,4)．解法三：由对称性可知，若直线BC恒过定点，则定点在y轴上，设BC过定点R（0,m）则∥YBACXOER因为(x2，y2-m),=(－x1，y1-m)所以x2(y1-m)+x1(y2-m)=0x2y1+x1y2-m(x1+x2)=00)(4212121xxmxxxx所以，直线BC恒过定点(0,4)．思路三：转化为在y轴上求一点R，使得B,C,R三点共线规律小结圆锥曲线中定点问题的两种常用解法(1)分离参数法：在含有参数的曲线方程里，把参数从含有参数的项里分离出来，并令其系数为零，可以求出定点坐标。(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．解题技巧整体把握思路，细节谋求方法定点和定值问题的综合运用例3已知椭圆E的方程为x22＋y2＝1，过点(1,0)作直线l交E于P，Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使MP·MQ为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设存在符合条件的点M(m,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，…………………………………Ⓐ则MP＝(x1－m，y1)，MQ＝(x2－m，y2)，MP·MQ＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2.Ⓑ①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，由x22＋y2＝1，y＝kx－1，得x2＋2k2(x－1)2－2＝0，即(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，则x1＋x2＝4k22k2＋1，x1x2＝2k2－22k2＋1，y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝－k22k2＋1，……………………Ⓑ所以MP·MQ＝2k2－22k2＋1－m·4k22k2＋1＋m2－k22k2＋1＝2m2－4m＋1k2＋m2－22k2＋1.所以2m2－4m＋1＝2(m2－2)，得m＝54.因为对于任意的k值，MP·MQ为定值，所以M54，0，此时MP·MQ＝－716.…………………Ⓒ所以M54，0，此时MP·MQ＝－716.…………………Ⓒ②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，则x1＋x2＝2，x1x2＝1，y1y2＝－12，由m＝54，得MP·MQ＝－716.综上，符合条件的点M存在，且坐标为54，0.…………………………………………………………Ⓓ[模型归纳]参数法求圆锥曲线定点问题的模型示意图如下：