圆锥曲线方程-抛物线(知识点、典型例题、考点、练习)

用心爱心专心1抛物线典例剖析知识点一抛物线概念的应用已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．解将x=3代入抛物线方程y2=2x，得y=±6.62，∴点A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x=21的距离为d，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d，当PA⊥l时，|PA|+d最小，最小值为27，即|PA|+|PF|的最小值为27，此时P点纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2，∴点P坐标为(2,2)．知识点二求抛物线的标准方程求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．分析设出抛物线的标准形式，依据条件求出p的值．解(1)设抛物线标准方程为y2＝－2px或x2＝2py(p0)，则将点(－3,2)代入方程得2p＝43，或2p＝92，故抛物线的标准方程为y2＝－43x，或x2＝92y.(2)①令x＝0，由方程x－2y－4＝0，得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0，－2)．设抛物线方程为x2＝－2py，则由p2＝2，得2p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0)．设抛物线方程为y2＝2px，由p2＝4，得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.用心爱心专心2知识点三抛物线在实际中的应用汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线顶点)距离是多少？分析确定抛物线方程，求出抛物线的焦点到其顶点的距离解取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图所示．因灯口直径|AB|=24.灯深|OP|=10，所以点A的坐标是(10,12)．设抛物线的方程为y2=2px(p0)．由点A(10,12)在抛物线上，得122=2p×10，∴p=7.2.抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0)．因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6cm.知识点四抛物线几何性质的简单应用抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程．分析先确定抛物线方程的形式，再依条件求待定参数．解椭圆9x2＋4y2＝36可化为x24＋y29＝1，得抛物线的对称轴为x轴．设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，又抛物线的焦点到顶点的距离为3，则有|a4|＝3，∴|a|＝12，即a＝±12.故所求抛物线方程为y2＝12x，或y2＝－12x.知识点五直线与抛物线已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝52p，求AB所在的直线方程．解焦点F(p2，0)，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，若AB⊥Ox，则|AB|＝2p52p，不合题意．所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k(x－p2)，k≠0.由y＝k(x－p2)，y2＝2px，消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.韦达定理得，y1＋y2＝2pk，y1y2＝－p2.用心爱心专心3∴|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(1＋1k2)·(y1－y2)2＝1＋1k2·(y1＋y2)2－4y1y2＝2p(1＋1k2)＝52p.解得k＝±2.∴AB所在直线方程为y＝2(x－p2)，或y＝－2(x－p2)．知识点六抛物线的焦点弦问题AB是过抛物线y2＝2px(p0)焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN⊥l，N为垂足．求证：(1)AN⊥BN；(2)FN⊥AB；(3)若MN交抛物线于Q，则Q平分MN.证明(1)作AC⊥l，垂足为C，作BD⊥l，垂足为D，在直角梯形ABDC中，∵|AF|=|AC|，|BF|=|BD|，∴|MN|=21(|AC|+|BD|)=21(|AF|+|BF|)=21|AB|，由平面几何知识可知△ANB是直角三角形，即AN⊥BN.(2)∵|AM|=|NM|，∴∠MAN=∠MNA，∵AC∥MN，∴∠CAN=∠MNA，∴∠MAN=∠CAN.在△ACN和△AFN中，|AN|=|AN|，|AC|=|AF|，且∠CAN=∠FAN，∴△ACN≌△AFN，∴∠NFA=∠NCA=90°，即FN⊥AB.(3)在Rt△MNF中，连结QF，由抛物线的定义及(2)的结论得|QN|=|QF|⇒∠QNF=∠QFN，且∠QFN=90°∠QFM，∠QMF=90°∠QNF，∴∠QFM=∠QMF，∴|QF|=|QM|，∴|QN|=|QM|，即Q平分MN.知识点七抛物线的综合问题过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A、B两点，用心爱心专心4设△AOB的面积为S(O为原点)．(1)用θ、p表示S；(2)求S的最小值；当最小值为4时，求抛物线的方程．解(1)设直线y＝kx－p2，代入y2＝2px，得y2＝2pyk＋p2，即y2－2pky－p2＝0，∴y1＋y2＝2pk，y1y2＝－p2.∴|AB|＝1＋1k2·(y1＋y2)2－4y1y2＝k2＋1k2·4p2k2＋4p2＝(1＋1k2)2p＝(1＋1tan2θ)2p＝2psin2θ.①当直线AB⊥x轴时，①也成立．∴S＝12|OF||AF|sinθ＋12|OF||BF|sin(π－θ)＝12|OF||AB|sinθ＝12·p22psin2θsinθ＝p22sinθ.(2)当θ＝90°时，Smin＝12p2.若Smin＝4，则12p2＝4.∴p＝22.∴此时抛物线的方程为y2＝42x.考题赏析1．(辽宁高考)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172B．3C.5D.92解析如图所示，由抛物线的定义知，点P到准线x＝－12的距离d等于点P到焦点的距离|PF|.因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F12，0的距离，则距离之和的最小值为4＋14＝172.用心爱心专心5答案A2．(全国Ⅰ高考)已知抛物线y＝ax2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．解析∵y＝ax2－1，∴y＋1＝ax2.令y＋1＝y′，x＝x′，则y′＝ax′2，∴x′2＝2×12ay′，∴x′2＝1ay′的焦点坐标为0，14a，即y＋1＝14a，∴y＝ax2－1的焦点坐标为0，14a－1.又y＝ax2－1的焦点是原点，∴14a＝1，∴a＝14.∴y＝14x2－1.令x＝0，得y＝－1，令y＝0，得x＝±2.故y＝14x2－1与两坐标轴的三个交点为(0，－1)，(2,0)，(－2,0)，∴围成三角形面积为S＝12×4×1＝2.答案23．(全国Ⅱ高考)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积等于________．解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝4x1，y22＝4x2.∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．∵x1≠x2，∴y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝1.∴直线AB的方程为y－2＝x－2，即y＝x.将其代入y2＝4x，得A(0,0)、B(4,4)．∴|AB|＝42.又F(1,0)到y＝x的距离为22，∴S△ABF＝12×22×42＝2.答案21．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是()A.|a|4B.|a|2C．|a|D．－a2答案B用心爱心专心6解析因为y2＝ax，所以p＝|a|2，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a|2，故选B.2．抛物线y2＝2px(p0)上一点M到焦点的距离是a(ap2)，则点M的横坐标是()A．a＋p2B．a－p2C．a＋pD．a－p答案B解析由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x＝－p2的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a－p2.3．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上点P(－3，m)到焦点F的距离为5，则抛物线方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x答案B解析点P(－3，m)在抛物线上，焦点在x轴上，所以抛物线的标准方程可设为y2＝－2px(p0)．由抛物线定义知|PF|＝3＋p2＝5.所以p＝4，所以抛物线的标准方程是y2＝－8x.应选B.4．抛物线y2＝ax的焦点与双曲线x23－y2＝1的左焦点重合，则这条抛物线的方程是()A．y2＝4xB．y2＝－4xC．y2＝－42xD．y2＝－8x答案D解析因为x23－y2＝1的左焦点为(－2,0)，所以抛物线开口向左，所以a0，且p＝|a|2＝4，所以a＝－8，所以抛物线方程为y2＝－8x，故选D.5．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点．设|FA||FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________．答案3＋22解析∵y2＝4x的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1，∴过F且斜率为1的直线方程为y=x1.将其代入y2=4x得x26x+1=0.∴x1,2=63642=3±22.∵|FA||FB|，∴xA=3+22，xB=322.又|FA|=xA+1，|FB|=xB+1，∴|FA|422|FB|422=3+22.答案－3用心爱心专心76.过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则OA·OB的值是________．.解析当直线过焦点且垂直于x轴时，直线方程为x＝1，代入y2＝4x，y1,2＝±2.A、B点的坐标分别为(1,2)，(1，－2)．∴OA·OB→＝1－4＝－3.当直线过焦点不垂直x轴时，则直线的方程可设为y＝k(x－1)，设A，B坐标分别为(x1，y1)(x2，y2)．则y21·y22＝16x1x2.由y2＝4x，y＝k(x－1)，得k2x2－(2k＋4)x＋k2＝0，OA·OB→＝x1x2＋y1y2＝1－4＝－3.7．已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，若动圆C与圆A相外切，且与直线l相切，求动圆圆心C的轨迹方程．解设圆心C到直线l的距离为d，则由题意知|CA|＝d＋1从而可知圆心C到点(－2,0)的距离和到定直线x＝2的距离相等．所以动圆圆心C的轨迹是抛物线，其焦点为(－2,0)，准线为x＝2，故设动圆圆心C的轨迹方程为y2＝－2px(p0)，由p2＝2，得p＝4.因此动圆圆心C的轨迹方程为y2＝－8x.8．已知点M(－2,4)及焦点为F的抛物线y＝18x2，在此抛物线上求一点P使|PM|＋|PF|的值最小．分析先根据已知条件画出图形，由定义知，抛物线上的点P到焦点F的距离等于P到准线l的距离d，所以求|PM|＋|PF|的最小值问题可转化为求|PM|＋d的最小值问题，让点P在抛物线上运动，容易发现当点P运动到过点M且与x轴垂直的直线与抛物线的交点处时，|PM|＋d最小．解如图，设MN⊥x轴，与准线交于N，与抛物线交于点P，在抛物线上任取一点P′，连P′M，P′F，作P′N垂直于准线，垂足为N′.由抛物线的定义，|PN|=|PF|，|P′N′|=|P′F||P′M|+|P′N′|=|P′M|+|P′F||PN|+|PM|=|PM|+|PF|∵|P′M|+|P′N′|≥|PN|+|PM|∴|P′M|+|P′F|≥|PM|+|PF|这就是说，当P′与P重合时，|PM|+|PF|的值最小解方程组22,1,8xyx得P(2，12)．9．已知抛物线y2＝2x，过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A、B两点，试求弦AB中点的轨迹方程．解设弦AB的中点M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y21＝