搜索
圆锥曲线北京市第十五中学凌艺国2012/12/101圆锥曲线的形成用一个平面截圆锥面所得的曲线形成圆锥曲线2012/12/102圆锥曲线的历史两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼（Apollonius)(约公元前262-前190）采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。著有《圆锥曲线》一书，全书共八卷，含487个命题，古希腊几何的登峰造极之作.用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。2012/12/103圆锥曲线的历史在阿波罗尼的《圆锥曲线》问世后的13个世纪里，整个数学界对圆锥曲线的研究一直没有什么新进展。11世纪，阿拉伯数学家曾利用圆锥曲线来解三次代数方程，12世纪起，圆锥曲线经阿拉伯传入欧洲，但当时对圆锥曲线的研究仍然没有突破。直到16世纪，有两年事促使了人们对圆锥曲线作进一步研究。德国天文学家开普勒（Kepler,1571~1630）继承了哥白尼的日心说，揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行的事实；意大利物理学家伽利略（Galileo,1564~1642）得出物体斜抛运动的轨道是抛物线。人们发现圆锥曲线不仅是依附在圆锥面上的静态曲线，而且是自然界物体运动的普遍形式。2012/12/104圆锥曲线与天文学天文从圆开始地心说的起源很早，最初由古希腊学者欧多克斯提出，经亚里士多德完善以地球为中心，以太阳、月亮及其他星球的圆形轨迹为边际的球体式宇宙体系这种模型经常出现与实际观察数据不符中国古代的盖天说与浑天说都是地心说。2012/12/105圆锥曲线与天文学公元150年左右，天文学家托勒密（ClaudiusPtolemy）对这体系进行了修改，引进更多的圆，当一个圆在旋转的同时，圆心也在绕另外一个圆周运动，这个数学模型延续了1000多年2012/12/106圆锥曲线与天文学16世纪，天文学家哥白尼提出了新的天体模型：日心说.以太阳为中心，通过这一改变，可以把复杂的圆周的总数从77个减少到31个，当仍然用圆作为天体运行的轨迹模型，其计算结果并不完全符合观测到的事实.2012/12/1071600年，天才观察家第谷邀请开普勒（Kepler）称为他的助手两人经常争吵，同时多次和解，共事18个月，第谷去世，开普勒接受了第谷一生所有的观测数据开普勒凭借其过人的数学才能与坚忍不拔的毅力，经过多年的艰苦探索后，提出了影响巨大的三个定律2012/12/108圆锥曲线与天文学开普勒三定律1.行星的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上.2.太阳与行星的连线在相等时间内扫过相等的面积.3.行星在轨道上运行一周所需时间的平方与轨道主轴的立方成正比𝑻𝟐=𝑲𝑫𝟑2012/12/109圆锥曲线与天文学开普勒被誉为“天空的立法者”。通过对数据的整理而获得的，是否有更一般的定理？1684年8月，哈雷访问牛顿，哈雷问：如果太阳的引力与行星离太阳距离的平方成反比，行星运行的曲线会是什么样的呢？牛顿马上回答：会是一个椭圆两年后，《自然哲学的数学原理》，其核心是牛顿三大运动定律及万有引力定律2012/12/1010圆锥曲线与天文学怎样由万有引力定律推到出开普勒第三定律？向心力：𝑭=𝒎𝒗𝟐𝒓，其中m是物体质量，v是速度，r是圆周长假设：物体做匀速圆周运动，𝒗=𝟐𝝅𝒓𝑻𝑭=𝒎𝒓𝟐𝝅𝒓𝑻𝟐=𝒎𝒓∙𝟒𝝅𝟐𝒓𝟐𝑻𝟐=𝒎𝟒𝝅𝟐𝒓𝑻𝟐万有引力定律𝑭=𝒌𝒎𝑴𝒓𝟐𝒎𝟒𝝅𝟐𝒓𝑻𝟐=𝒌𝒎𝑴𝒓𝟐⇒𝑻𝟐=𝟒𝝅𝟐𝒌𝑴𝒓𝟑即𝑻𝟐=𝒌𝑫𝟑2012/12/1011圆锥曲线与天文学数学之用有时需要等待漫长的时间，圆锥曲线的历史为此提供了一个极为典型的例证.2012/12/10121579年蒙蒂（GuidobaldodelMonte,1545~1607）椭圆定义为：到两个焦点距离之和为定长的动点的轨迹。从而改变了过去对圆锥曲线的定义。不过，这对圆锥曲线性质的研究推进并不大，也没有提出更多新的定理或新的证明方法。2012/12/1013椭圆的光学性质从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上。2012/12/1014双曲线的光学性质从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上2012/12/1015抛物线的光学性质从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的对称轴。一束平行光垂直于抛物线的准线，向抛物线的开口射进来，经抛物线反射后，反射光线汇聚在抛物线的焦点。2012/12/1016格雷戈里反射望远镜格雷戈里(Gregory)（1638~1675），苏格兰数学家，1663年，在论文《光学的进展》中，提出了他设计的反射望远镜的方案两个反射镜和一个透镜主镜是一个中间带小孔的抛物面镜，附属的第二个反射镜是凹形椭圆面镜2012/12/1017牛顿反射望远镜1668年，牛顿发明了一个与格雷戈里不同的反射望远镜把第二个反射镜换成了平面镜，这面镜的反光面正好和望远镜的主轴成45°制造工艺简单，可达到很高精度现在仍在天文爱好者中流行2012/12/1018卡塞格林反射望远镜1672年，卡塞格林发明了另一种天文望远镜，他的设计方案极为巧妙主镜仍是抛物面，但第二个反射镜换成了一个双曲面的凸面镜，这两个反射镜的焦点重合，这样光线经抛物面反射后汇聚到双曲面的一个焦点，在汇聚前右由双曲面反射到双曲面的另一个焦点，在哪里聚焦成像。在成像处附近正是镜筒底部的小窗口，在那里安置目镜。2012/12/1019天文望远镜解析几何的诞生推动了天文望远镜设计的发展有了解析几何，人们就不必再猜测某种曲面反射镜的光学性质，而是在这种反射镜实际制造出来之前就可以用代数方法计算出其光学性质。椭圆抛物面反射镜、双曲抛物面反射镜与抛物面反射镜结合2012/12/1020杰尼西亚的耳朵西西里岛上舒古拉帝国暴君杰尼西亚往往把囚徒关在一个山洞里，囚徒们多次密谋逃跑，但秘密的计划总是被杰尼西亚所发现。起初，囚徒们以为狱友中有内奸，他们互相指责、怀疑，但始终没有发现任何一个囚徒在告密。后来，又关进了个囚徒，这个囚徒有些数学知识，在囚徒们又一次密谋逃跑时，这个数学家囚徒却劝告别白费力气徒劳了，他告诉大家，这个囚禁囚徒的山洞有古怪，洞壁是类椭球形的，囚徒们被关押在椭圆的一个焦点附近，他们的密谋的话都被处于另一个焦点处的密探听到而报告给上司，所以，没人能够逃出生天。于是，囚徒们把这个山洞诅咒为“杰尼西亚的耳朵”。2012/12/1021电影放映机电影放映机的聚光灯有一个反射镜，它的形状是旋转椭圆面（椭圆绕两焦点所在的线旋转一周所得曲面，它具有与椭圆相同的光学性质），为了使片门（电影胶片通过的地方）出获得最强的光线，可将灯丝F2与片门F1置于椭圆的两个焦点处。2012/12/1022高压氙气灯各种激光材料需要在外界强光的刺激下，才能发出激光。外界光源常选用高压氙气灯。但如何把氙气发出来的光，最大限度地集中到激光材料上去吗？利用椭圆，用反光性能非常好的材料做成一个椭圆形柱面的聚光器，然后把棒状激光材料和氙灯，分别放在椭圆的两个焦点处，使氙灯发出来的光，经过椭圆形柱面的反射，更好地集中在激光材料上，从而得到更好的激发2012/12/1023双叶旋转双曲面双曲线绕着两个焦点的连线在空间旋转一周，得到的曲面叫做双叶旋转双曲面摄影用的照明灯摄影要求照明灯提供足够的亮度，同时又尽可能地均匀柔和。摄影用的灯反光面做出双叶旋转双曲面的形状，并把灯丝恰好位于焦点上2012/12/1024抛物面的应用抛物线绕它的对称轴旋转所成的曲面叫做抛物面手电筒、汽车前灯、探照灯太阳能热水器、阿基米德卫星通信像碗一样的接受或发射天线2012/12/1025