指数函数和对数函数知识点和练习题-2

指数函数和对数函数知识点和练习题一、指数的性质（一）整数指数幂1．整数指数幂概念：annaaaa个)(Nn010aa10,nnaanNa2．整数指数幂的运算性质：（1）,mnmnaaamnZ（2）,nmmnaamnZ（3）nnnababnZ其中mnmnmnaaaaa，1nnnnnnaaababbb．3．a的n次方根的概念一般地，如果一个数的n次方等于aNnn,1，那么这个数叫做a的n次方根，即：若axn，则x叫做a的n次方根，Nnn,1例如：27的3次方根3273，27的3次方根3273，32的5次方根2325，32的5次方根2325．说明：①若n是奇数，则a的n次方根记作na；若0a则0na，若oa则0na；②若n是偶数，且0a则a的正的n次方根记作na，a的负的n次方根，记作：na；（例如：8的平方根22816的4次方根2164）③若n是偶数，且0a则na没意义，即负数没有偶次方根；④Nnnn,100∴00n；⑤式子na叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。∴nnaa．4．a的n次方根的性质一般地，若n是奇数，则aann；若n是偶数，则00aaaaaann．5．例题分析：例1．求下列各式的值：（1）338（2）210（3）443（4）baba2例2．已知,0baNnn,1，化简：nnnnbaba．解：当n是奇数时，原式ababa2)()(当n是偶数时，原式abaabbaba2)()(||||所以，nnnnbaba22anan为奇数为偶数．例3．计算：407407解：40740752)25()25(22例4．求值：54925．解：54925425254549252）（4526225252154152）（（二）分数指数幂1．分数指数幂：10510250aaaa12312430aaaa即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）nkknaa对分数指数幂也适用，例如：若0a，则3223233aaa，4554544aaa，∴2323aa4545aa．即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是0,,,1mnmnaaamnNn；（2）正数的负分数指数幂的意义是110,,,1mnmnmnaamnNnaa．2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用即10,,rsrsaaaarsQ20,,srrsaaarsQ30,0,rrrabababrQ说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。3．例题分析：例1．用分数指数幂的形式表示下列各式ao：2aa，332aa，aa.解：2aa=11522222aaaa；332aa=211333aaa；aa=1113322224aaaa．例2．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．（1）211511336622263ababab；（2）83184mn；解（1）211511336622263ababab=211115326236263ab=044aba；（2）83184mn=883184mn=2233mmnn．例3．计算下列各式：（1）3451255（2）2320aaaa．解：（1）3451255=231324555=213134245555=5512455=5124555；（2）232aaa=526562132aaaaa．（三）综合应用例1．化简：11555xxx.解：11555xxx=15(1525)x=1315x=3155x.例2．化简：)()(41412121yxyx.解：11112244()()xyxy111111444444()()()xyxyxy1144xy．评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即21241)(xx，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决。例3．已知13xx，求下列各式的值：（1）1122xx；（2）3322xx.解：（1）11222()xx1111222222()2()xxxx112xx325，∴11225xx，又由13xx得0x，∴11220xx，所以11225xx.（2）（法一）3322xx113322)()xx＝（11111122222222()[()()]xxxxxx11122()[()1]xxxx5(31)25，（法二）33222[()()]xx3333222222()()2xxxx332xx而33xx122()(1)xxxx112()[()3]xxxx23(33)18∴33222()20xx，又由130xx得0x，∴33220xx，所以33222025xx.二、指数函数1．指数函数定义：一般地，函数xya（0a且1a）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R．2．指数函数xya在底数1a及01a这两种情况下的图象和性质：1a01a图象性质（1）定义域：R（2）值域：(0,)（3）过点(0,1)，即0x时1y（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数例1．求下列函数的定义域、值域：（1）1218xy（2）11()2xy（3）3xy（4）1(0,1)1xxayaaa．解：（1）210x∴12x原函数的定义域是1{,}2xxRx，令121tx则0,ttR∴8(,0)tytRt得0,1yy，所以，原函数的值域是{0,1}yyy．（2）11()02x∴0x原函数的定义域是0,，令11()2xt(0)x则01t，yt在0,1是增函数∴01y，所以，原函数的值域是0,1．（3）原函数的定义域是R，令tx则0t，3ty在,0是增函数，∴01y，所以，原函数的值域是0,1．（4）原函数的定义域是R，由1(0,1)1xxayaaa得11xyay，0xa∴101yy，∴11y，所以，原函数的值域是1,1．说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。例2．当1a时，证明函数11xxaya是奇函数。证明：由10xa得，0x，故函数定义域{0}xx关于原点对称。1()1xxafxa(1)(1)xxxxaaaa11xxaa()fx∴()()fxfx所以，函数11xxaya是奇函数。例3．设a是实数，2()()21xfxaxR，（1）试证明：对于任意,()afx在R为增函数；（2）试确定a的值，使()fx为奇函数。分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。（1）证明：设1212,,xxRxx，则12()()fxfx1222()()2121xxaa21222121xx12122(22)(21)(21)xxxx，由于指数函数2xy在R上是增函数，且12xx，所以1222xx即12220xx，又由20x，得1120x，2120x，所以，12()()0fxfx即12()()fxfx．因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，()fx在R为增函数。评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。（2）解：若()fx为奇函数，则()()fxfx，即22()2121xxaa变形得：2222(21)2(21)22121xxxxxxa，解得：1a，所以，当1a时,()fx为奇函数。指数函数·例题解析【例1】求下列函数的定义域与值域：(1)y3(2)y(3)y12x＝＝＝213321xx解(1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1．(2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0．(3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，∴值域是≤＜．0y3练习：（1）412xy；（2）||2()3xy；（3）1241xxy；【例2】指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是[]A．a＜b＜1＜c＜dB．a＜b＜1＜d＜cC．b＜a＜1＜d＜cD．c＜d＜1＜a＜b解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c．练习：指数函数①②满足不等式,则它们的图象是().【例3】比较大小：(1)2(2)0.6、、、、的大小关系是：．248163235894512()(3)4.54.1________3.73.6解(1)y221()x∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．222242821621338254912284162123135258389493859解(2)0.6110.6∵＞，＞，∴＞．451245123232()()解(3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6∴4.54.1＞3.73.6．说明如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．练习：（1）1.72.5与1.73(2)0.10.8与0.20.8(3)1.70.3与0.93.1（４）5.31.2和7.20.2【例5】作出下列函数的图像：(1)y(2)y22x＝＝－，()121x(3)y＝2|x-1|(4)y＝|1－3x|解(1)y(264)(0)(11)y1＝的图像如图．－，过点，及－，．是把函数＝的图像向左平移个单位得到的．()()1212121xx解(2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的．解(3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．解(4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7)【例8】已知＝