指数函数图像及性质(上课 )

指数函数图像和性质指数函数一、创设情境，形成概念细胞分裂次数：2次3次1次所得细胞的个数：2个242个个2xy个X次328个个形如xay,a(0)a1且的函数叫做指数函数，其中x为自变量，定义域为R底为常数指数为自变量幂为函数xya函数形如叫做指数函数，为自变量，定义域为R其中X(01)aa且例1、下列函数中，哪些是指数函数？14xy42yx34xy144xy指数函数的定义：动手画一画下列函数的图像：（1、2组画（1）、（2），3、4组画（3）、（4））12xy122Xy33xy143Xy二、实践操作，探求新知011xyxy2xy21xy3xy31xy01xay)10(a01xay)1(axya10a1图像图像特征指数函数的图像及特征图像分布在一、二象限，与轴相交，落在x轴的上方。都过点（0，1）第一象限的点的纵坐标都大于1；第二象限的点的纵坐标都大于0且小于1。第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1；第二象限的点的纵坐标都大于1。从左向右图像逐渐上升。从左向右图像逐渐下降。图象性质yx0y=1(0,1)y=ax(a1)yx(0,1)y=10y=ax(0a1)定义域:值域:恒过点：在R上是单调：在R上是单调：a10a1R(0,+∞)(0,1),即x=0时,y=1.增函数减函数指数函数的图像及性质当x0时，y1.当x0时，.0y1当x0时，y1；当x0时，0y1。01xyxy2xy21xy3xy31xy31xy21三、深入探究，加深理解引导学生观察图像，发现图像与底的关系在第一象限沿箭头方向底增大底互为倒数的两个函数图像关于y轴对称四、当堂训练，共同提高例2、求函数的定义域：142y=2;x41y=2;xx3y=21.例3：比较下列各题中两值的大小：2.530.10.211.71.7;20.80.8与与350.81.871211873;44278与与0.30.350.30.2与0.33.161.70.9与同底比较大小同底指数幂比大小，构造指数函数，利用函数单调性不同底但可化同底不同底数幂比大小，利用指数函数图像与底的关系比较不同底但同指数底不同，指数也不同利用函数图像或中间变量进行比较五、小结归纳，拓展深化（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？（2）你又掌握了哪些研究数学的学习方法？六、布置作业,提高升华(1)必做题：课本P73，1、2(2)选做题：课本P77，4,5指数函数及其性质•新知导学•1．指数函数的定义•一般地，函数y＝_____(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是________．•[名师点拨]指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的结构特征：•(1)底数：大于零且不等于1的常数；•(2)指数：仅有自变量x；•(3)系数：ax的系数是1.ax自变量图象性质yx0y=1(0,1)y=ax(a1)yx(0,1)y=10y=ax(0a1)定义域:值域:恒过点：在R上是单调：在R上是单调：a10a1R(0,+∞)(0,1),即x=0时,y=1.增函数减函数指数函数的图像及性质当x0时，y1.当x0时，.0y1当x0时，y1；当x0时，0y1。•[归纳总结]指数函数的性质可用如下口决来记忆：•指数增减要看清，抓住底数不放松；•反正底数大于0，不等于1已表明；•底数若是大于1，图象从下往上增；•底数0到1之间，图象从上往下减；•无论函数增和减，图象都过(0,1)点．●自我检测1．已知f(x)＝9x，则f(12)等于()A．12B．2C．3D．9[答案]C•[答案]C2．y＝(34)x的图象可能是()3．y＝(3)x的值域是()A．RB．[0，＋∞)C．(－∞，0)D．(0，＋∞)•[答案]D•4．若指数函数y＝(a－2)x在R上是增函数，则实数a的取值范围是________．•[答案](3，＋∞)•1(1)函数y＝(2a2－3a＋2)·ax是指数函数，则a的值________．(2)指数函数f(x)的图象过点(－3，18)，则f(2)＝________.[答案](1)12(2)4[解析](1)y＝(2a2－3a＋2)·ax是指数函数，则有2a2－3a＋2＝1，a0且a≠1，∴a＝12.(2)设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)．∵f(x)的图象过点(－3，18)，∴a－3＝18，a3＝8，故a＝2，∴f(x)＝2x，∴f(2)＝22＝4.例3：比较下列各题中两值的大小：2.530.10.211.71.7;20.80.8与与350.81.871211873;44278与与0.30.350.30.2与0.33.161.70.9与同底比较大小同底指数幂比大小，构造指数函数，利用函数单调性不同底但可化同底不同底数幂比大小，利用指数函数图像与底的关系比较不同底但同指数底不同，指数也不同利用函数图像或中间变量进行比较•2•(1)当a＞1时，函数y＝ax和y＝(a－1)x2的图象只可能是()•指数函数的图象问题•2(2)图中的曲线是指数函数y＝ax的图象，已知a的值取3，110，43，35四个值，则相应的曲线C1，C2，C3，C4的a的值依次是()A．43，3，110，35B．35，110，3，43C．110，35，43，3D．3，43，35，110•(3)(2013～2014双鸭山高一检测)当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3必过定点________．•[分析](1)题(1)中指数函数的图象自左向右是上升的还是下降的？•二次函数图象的开口方向是向上还是向下？•(2)底数不同的指数函数的图象在第一象限内是如何分布的？•(3)指数函数的图象恒过哪个点？为什么？•[解析](1)由a＞1知函数y＝ax的图象过点(0,1)，分布在第一和第二象限，且从左到右是上升的．•由a＞1知函数y＝(a－1)x2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点为原点，综合分析可知选项A正确．(2)因为直线x＝1与函数y＝ax的图象相交于点(1，a)．又因为0＜110＜35＜1＜43＜3，所以曲线c1，c2，c3，c4的a的值依次为43，3，110，35.(3)当a＞0且a≠1时，总有a0＝1，所以当x＝2时，y＝－2，过点(2，－2)．•[答案](1)A(2)A(3)(2，－2)•规律总结：1.处理指数函数图象问题的两个要点•(1)牢记指数函数y＝ax图象恒过定点(0,1)，分布在第一和第二象限．•(2)明确影响指数函数图象特征的关键是底数．•2．底数变化对指数函数图象形状的影响•指数函数y＝ax的图象如图所示，由指数函数y＝ax的图象与直线x＝1相交于点(1，a)可知：•(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；•(2)在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．•如图中的底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1.•若函数y＝ax＋(b－1)(a＞0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则有()•A．a＞1且b＜1B．0＜a＜1且b≤1•C．0＜a＜1且b＞0D．a＞1且b≤0•[答案]D•[解析]由于图象不过第二象限知a＞1，且x＝0时，a0＋(b－1)≤0，∴b≤0，故选D.•2•3•求下列函数的定义域与值域：•[分析]解答本题可根据指数函数的定义域为R，逐个分析．•与指数函数有关的定义域与值域问题•3(1)y＝21x-4；(2)y＝(23)－|x|.[解析](1)令x－4≠0，得x≠4，∴定义域为{x|x∈R，且x≠4}．∵1x－4≠0，∴21x－4≠1，∴y＝21x－4的值域为{y|y0，且y≠1}．(2)定义域为R，∵|x|≥0，∴y＝(23)－|x|＝(32)|x|≥(32)0＝1.故y＝(23)－|x|的值域为{y|y≥1}．•规律总结：1.函数单调性在求函数值域中的应用•(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则f(a)≤f(x)≤f(b)，值域为[f(a)，f(b)]．•(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是减函数，则f(a)≥f(x)≥f(b)，值域为[f(b)，f(a)]．•2．函数y＝af(x)定义域、值域的求法•(1)定义域．•函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．•(2)值域．•①换元，令t＝f(x)•②求t＝f(x)的定义域x∈D；•③求t＝f(x)的值域t∈M；•④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．•3求下列函数的定义域和值域．(1)y＝(12)x＋1(－1≤x≤1)；(2)y＝101x；(3)y＝3|x＋1|.[解析](1)定义域[－1,1]，值域[32，3]．(2))y＝101x定义域为{x|x≠0}，值域{y|y0且y≠1}(3)y＝3|x＋1|定义域为R，值域为{y|y≥1}．6．求下列函数的值域：(1)y＝2－1x；(2)y＝51－x.[解析](1)∵－1x≠0，∴y＝2－1x≠1.∴y＞0且y≠1，∴所求函数的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．(2)∵1－x≥0，∴y＝51－x≥50＝1.∴所求函数的值域是[1，＋∞)．•4●误区警示易错点指数函数中忽视分类讨论致误(2013～2014淮安高一检测)函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的差为12，则a＝________.[错解]f(x)最大值为f(1)＝a，最小值为f(0)＝1，∴a－1＝12，∴a＝32.[错因]忽视①处当0a1时，函数f(x)在[0,1]上是减函数这种情况，导致漏掉解a＝12.[正解](1)当a＞1时，函数f(x)＝ax在[0,1]上是增函数．所以当x＝1时，函数f(x)取最大值；当x＝0时，函数f(x)取最小值．由题意得f(1)－f(0)＝12，即a－a0＝12，解得a＝32.(2)当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax在[0,1]上是减函数①.所以当x＝1时，函数f(x)取最小值；当x＝0时，函数f(x)取最大值．由题意得f(0)－f(1)＝12，即a0－a＝12，解得a＝12.综上知a＝32或12.[答案]32或12•已知a＞0，且a≠1，若函数f(x)＝2ax－4在区间[－1,2]上的最大值为10，则a＝________.•1[解析](1)若a＞1，则函数y＝ax在区间[－1,2]上是递增的，当x＝2时f(x)取得最大值f(2)＝2a2－4＝10，即a2＝7，又a＞1，∴a＝7.(2)若0＜a＜1，则函数y＝ax在区间[－1,2]上是递减的，当x＝－1时，f(x)取得最大值f(－1)＝2a－1－4＝10，∴a＝17.综上所述，a的值为7或17.[答案]7或17随堂测评•1．下列函数，•①y＝x2；②y＝(－2)x；③y＝2x＋1；④y＝(a－1)x(a1，且a≠2)．•其中，指数函数的个数是()•A．1B．2•C．3D．4•[答案]A2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则()A．a＜0，b＜0B．a＜0，b＞0C．0＜a＜1，b＞1D．0＜a＜1,0＜b＜1•[答案]C•3．(2013～2014宿州高一检测)函数f(x)＝3x＋1的值域为()•A．(－1，＋∞)B．(1，＋∞)•C．(0,1)D．[1，＋∞)•[答案]B•4．函数f(x)＝a3－x－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点的坐标是________．•[答案](3,0)•[解析]令3－x＝0，解得x＝3，•则f(3)＝a0－1＝0，即过定点(3,0)．•5．已知指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(6)＝________.•[答案]64•[解析]设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)．•∵函数f(x