指数函数性质及应用

§2.1.2指数函数及其性质(二)主页1.指数函数:函数y=ax(a0,且a≠1)叫做指数函数其中x是自变量,函数定义域是R.2.指数函数的图象和性质：在R上是函数4.在R上是函数3.过点,即x=时,y=2.值域：1.定义域：性质图象0a1a1(,)(0,)(0,1)yxoy=1(0,1)yx(0,1)y=1o01增减在R上是函数4.在R上是函数3.过点,即x=时,y=2.值域：1.定义域：性质图象0a1a1(,)(0,)(0,1)yxoy=1(0,1)yx(0,1)y=1o01增减§2.1.2指数函数及其性质(二)主页xoy2xy1()10xy3xy10xy1()3xy1()2xy在第一象限里,图象从低到高,底数逐渐变大.指数函数性质应用题型一图像问题§2.1.2指数函数及其性质(二)主页题型二图像过定点问题例1.函数y＝ax-3＋2(a＞0,且a≠1)必经过哪个定点？由于函数y＝ax(a＞0,且a≠1)恒经过定点(0,1),因此指数函数与其它函数复合会产生一些丰富多彩的定点问题(3,3)§2.1.2指数函数及其性质(二)主页【1】函数y＝ax+5-1（a＞0,且a≠1）必经过哪个定点？【2】函数恒过定点(1,3)则b=____.2xbya(5,0)1§2.1.2指数函数及其性质(二)主页题型三:求定义域、值域问题：(利用复合函数,结合图象法)例1（1）求函数y=2x(-1≤x≤1)的值域（2）求函数的定义域与值域642xy（3）求函数的定义域与值域xxy22)41(例2、已知函数y=4x+2·2x-1,求函数y在[-1，1]上的最大值和最小值.§2.1.2指数函数及其性质(二)主页例1.说明下列函数图象与指数函数y＝2x的图象关系，并画出它们的图象:题型四指数函数图象的变换一（平移问题）;2,2(1)21xxyy;2,2(2)21xxyy.12,12)3(xxyy§2.1.2指数函数及其性质(二)主页x-3-2-101230.1250.250.512480.250.51248160.51248163212xyxy222xy作出图象，显示出函数数据表212,2(1)xxyy§2.1.2指数函数及其性质(二)主页987654321-4-224Oxy比较函数.的图象关系12xyxy222xy§2.1.2指数函数及其性质(二)主页987654321-4-224Oxy比较函数.的图象关系12xyxy222xy§2.1.2指数函数及其性质(二)主页987654321-4-224Oxy比较函数.的图象关系12xyxy222xy§2.1.2指数函数及其性质(二)主页x-3-2-101230.1250.250.512480.06250.1250.250.51240.031250.06250.1250.250.51212xyxy222xy作出图象，显示出函数数据表212,2(2)xxyy§2.1.2指数函数及其性质(二)主页987654321-4-224Oxy比较函数.的图象关系12xyxy222xy§2.1.2指数函数及其性质(二)主页987654321-4-224Oxy比较函数.的图象关系12xyxy222xy§2.1.2指数函数及其性质(二)主页987654321-4-224Oxy比较函数.的图象关系12xyxy222xy§2.1.2指数函数及其性质(二)主页.12,12)3(xxyy§2.1.2指数函数及其性质(二)主页987654321-4-224Oxy比较函数.的图象关系12xyxy212xy.12,12)3(xxyy§2.1.2指数函数及其性质(二)主页987654321-4-224Oxy比较函数.的图象关系12xyxy212xy.12,12)3(xxyy§2.1.2指数函数及其性质(二)主页987654321-4-224Oxy比较函数.的图象关系12xyxy212xy.12,12)3(xxyy§2.1.2指数函数及其性质(二)主页小结：向左平移a个单位得到f(x＋a)的图象;向右平移a个单位得到f(x－a)的图象;向上平移a个单位得到f(x)＋a的图象;向下平移a个单位得到f(x)－a的图象.f(x)的图象§2.1.2指数函数及其性质(二)主页二对称问题例1说出下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系,并画出它们的示意图.(1)2xy(2)2xy(3)2xyyxoyxoyxo（x,y)和(-x,y)关于y轴对称！（x,y)和(x,-y)关于x轴对称！（x,y)和(-x,-y)关于原点对称！§2.1.2指数函数及其性质(二)主页(1)2xy(2)2xy(3)2xyyxo(0,1)yxo(0,1)yxo(0,1)(1)2xy(2)2xy(3)2xyyxoyxo(0,1)yxoyxo(0,1)yxoyxo(0,1)(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于对称；(2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于对称；(3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于对称.x轴y轴原点§2.1.2指数函数及其性质(二)主页例1.设a是实数,(1)试证明对于任意a,f(x)为增函数；2().21xfxa证明:任取x1,x2,且f(x1)－f(x2)=21222121xx12212222(21)(21)xxxx12212(22).(21)(21)xxxx∵y=2x在R上是增函数,且x1＜x2,1222,xx12210,210,xx又12220.xx即∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2).故对于a取任意实数,f(x)为增函数.题型五单调性的证明12.xx§2.1.2指数函数及其性质(二)主页例2.讨论函数的单调性,并求其值域.221()(),15xxfxx≤解:任取x1,x2∈(-∞,1],且x1x2,221122221211()(),()(),55xxxxfxfx∵f(x1)0,f(x2)0,2222112221()1()()5xxxxfxfx则2121()(2)1().5xxxx§2.1.2指数函数及其性质(二)主页∵x1x2≤1,21()1,()fxfx21()().fxfx即所以f(x)在(-∞,1]上为增函数.又x2-2x=(x-1)2-1≥-1,221110()()5,55xx≤所以函数的值域是(0,5].此时(x2-x1)(x1+x2-2)0.∴x2-x10,x1+x2-20.2121()(2)011()()55xxxx§2.1.2指数函数及其性质(二)主页题型七单调性应用简单的指数不等式对于形如af(x)＞ag(x)(a＞0且a≠1)的不等式，要根据单调性转化为一般的代数不等式．如果a－5x＞ax＋7(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．【思路点拨】讨论a的取值，确定y＝ax的单调性．例1§2.1.2指数函数及其性质(二)主页【解】①当a＞1时，∵a－5x＞ax＋7，∴－5x＞x＋7，解得x＜－76.②当0＜a＜1时，∵a－5x＞ax＋7，∴－5x＜x＋7解得x＞－76.综上所述，x的取值范围是：当a＞1时，x＜－76；当0＜a＜1时，x＞－76.§2.1.2指数函数及其性质(二)主页【名师点拨】以上不等式为同底型：af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)形式，解此种不等式的依据是指数函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若不确定，就需进行讨论，即af(x)＞ag(x)⇔fx＞gx，a＞1.fx＜gx，0＜a＜1.§2.1.2指数函数及其性质(二)主页互动探究3本例中，若将“a－5x＞ax＋7(a＞0，且a≠1)”改为“(a2＋a＋2)－5x＞(a2＋a＋2)x＋7”，如何求解？解：∵a2＋a＋2＝(a＋12)2＋74＞1，∴y＝(a2＋a＋2)x在R上是增函数．∴－5x＞x＋7，即x＜－76，∴x的取值范围是{x|x＜－76}．§2.1.2指数函数及其性质(二)主页例1.求证函数是奇函数题型八.指数形式的复合函数的奇偶性101()101xxfx证明：函数的定义域为R,所以f(x)在R上是奇函数.101()101xxfx10(101)10(101)xxxx110110xx().fx§2.1.2指数函数及其性质(二)主页解:若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),22(),2121xxaa即22221221xxxa22212xx.2利用f(0)=0例2.设a是实数,(2)试确定a的值,使f(x)为奇函数.2().21xfxa∴a=1.§2.1.2指数函数及其性质(二)主页【1】已知定义域为R的函数为奇函数,则a=__,b=_____.1-2()2xxbfxa21e()exxafxa(0)01;fb(1)(1)2.ffa§2.1.2指数函数及其性质(二)主页例3已知函数f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)=2x+1,求当x＜0时,f(x)的解析式.又因为f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).解:因为当x0时,∴当x＜0时,-x0,即1,()2xfx1.()2xxf1,()2xxf1.()2xxf所以当x＜0时,-1.()2xfxxoy-22xoy-22