指数函数的图像及性质的应用

指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：1a01a图象性质01a1aR（0，+∞）过定点（0，1），即x=0时,y=1在R上是减函数在R上是增函数yx(0,1)y=10y=ax(0a1)yx0y=1(0,1)y=ax(a1)归纳定义域：值域：10010yxyx时，当时，当10010yxyx时，当时，当例1.说明下列函数图象与指数函数y＝2x的图象关系，并画出它们的图象:指数函数图象的变换一（平移问题）;2,2(1)21xxyy;2,2(2)21xxyy.12,12)3(xxyyx-3-2-101230.1250.250.512480.250.51248160.51248163212xyxy222xy作出图象，显示出函数数据表212,2(1)xxyy987654321-4-224Oxy比较函数.的图象关系12xyxy222xy987654321-4-224Oxy比较函数.的图象关系12xyxy222xy987654321-4-224Oxy比较函数.的图象关系12xyxy222xyx-3-2-101230.1250.250.512480.06250.1250.250.51240.031250.06250.1250.250.51212xyxy222xy作出图象，显示出函数数据表212,2(2)xxyy987654321-4-224Oxy比较函数.的图象关系xy2987654321-4-224Oxy比较函数.的图象关系12xyxy2987654321-4-224Oxy比较函数.的图象关系12xyxy222xy.12,12)3(xxyy987654321-4-224Oxy比较函数.的图象关系xy2.12,12)3(xxyy987654321-4-224Oxy比较函数.的图象关系12xyxy2.12,12)3(xxyy987654321-4-224Oxy比较函数.的图象关系12xyxy212xy.12,12)3(xxyy小结：向左平移a个单位得到f(x＋a)的图象;向右平移a个单位得到f(x－a)的图象;向上平移a个单位得到f(x)＋a的图象;向下平移a个单位得到f(x)－a的图象.f(x)的图象二对称问题例2说出下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系,并画出它们的示意图.(1)2xy(2)2xy(3)2xyyxoyxoyxo（x,y)和(-x,y)关于y轴对称！（x,y)和(x,-y)关于x轴对称！（x,y)和(-x,-y)关于原点对称！(1)2xy(2)2xy(3)2xyyxo(0,1)yxo(0,1)yxo(0,1)(1)2xy(2)2xy(3)2xyyxoyxo(0,1)yxoyxo(0,1)yxoyxo(0,1)(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于对称；(2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于对称；(3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于对称.x轴y轴原点单调性应用简单的指数不等式例3、根据条件，确定实数x的取值范围1212x)21(8).4(2512.0).3(12).2(5.0.21xxx）（12215.02.1x）解：（上单调递增在R2xy1x单调性应用简单的指数不等式例3、根据条件，确定实数x的取值范围1212x)21(8).4(2512.0).3(12).2(5.0.21xxx）（0212.2x）解：（上单调递增在R2xy0x单调性应用简单的指数不等式例3、根据条件，确定实数x的取值范围1212x)21(8).4(2512.0).3(12).2(5.0.21xxx）（2121-2)51(512510.23xx）即（）解：（上单调递减在）（R51xy2321-2xx即单调性应用简单的指数不等式例3、根据条件，确定实数x的取值范围1212x)21(8).4(2512.0).3(12).2(5.0.21xxx）（)12(31222)21(8.4xx即）解：（上单调递增在R2xy2)12(3xx即解指数型不等式，将不等式两边化为底数相同的指数式，再利用函数的单调性求解思考：的取值范围。求且如果xaaaaxx),1,0(75【解】①当a＞1时，∵a－5x＞ax＋7，∴－5x＞x＋7，解得x＜－76.②当0＜a＜1时，∵a－5x＞ax＋7，∴－5x＜x＋7解得x＞－76.综上所述，x的取值范围是：当a＞1时，x＜－76；当0＜a＜1时，x＞－76.【注意】以上不等式为同底型：af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)形式，解此种不等式的依据是指数函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若不确定，就需进行讨论，即af(x)＞ag(x)⇔fx＞gx，a＞1.fx＜gx，0＜a＜1.本例中，若将“a－5x＞ax＋7(a＞0，且a≠1)”改为“(a2＋a＋2)－5x＞(a2＋a＋2)x＋7”，如何求解？解：∵a2＋a＋2＝(a＋12)2＋74＞1，∴y＝(a2＋a＋2)x在R上是增函数．∴－5x＞x＋7，即x＜－76，∴x的取值范围是{x|x＜－76}．思考：例4.讨论函数的单调性,并求其值域.221()(),15xxfxx≤解:任取x1,x2∈(-∞,1],且x1x2,221122221211()(),()(),55xxxxfxfx∵f(x1)0,f(x2)0,2222112221()1()()5xxxxfxfx则2121()(2)1().5xxxx复合函数的单调性∵x1x2≤1,21()1,()fxfx21()().fxfx即所以f(x)在(-∞,1]上为增函数.又x2-2x=(x-1)2-1≥-1,221110()()5,55xx≤所以函数的值域是(0,5].此时(x2-x1)(x1+x2-2)0.∴x2-x10,x1+x2-20.2121()(2)011()()55xxxx复合函数：注意：若y=f(u)定义域为A，u=g(x)值域为B，则必须满足BA和由uy)51(xxxf22)51()(如：函数xxu22.复合而成叫外函数；我们把uy)51(叫内函数。xxu22如果y是u的函数,而u又是x的函数,即y=f(u),u=g(x),那么y关于x的函数y=f[g(x)]叫做函数f和g的复合函数,u叫做中间变量.1,)51(22xyxx观察复合而成。与由uyxxu)51(22上单调递增。，在（而在定义域内单调递减，上单调递减，，在（]1-)51()51(]1-2-222xxuyyxxu复合函数的单调性内u=g(x)增函数减函数增函数减函数外y=f(u)增函数减函数减函数增函数复y=f[g(x)]规律：当内外函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当内外函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数“同增异减”增函数增函数减函数减函数“异”“同”指内外函数单调性的异同是增函数在上是减函数在),1[,]1,()(xu.)31(上是减函数在又Ryu是减函数在上是增函数在),1[,]1,()(xf的定义域均为R和由uy)31(xxxf22)31()(解：函数xxu22.复合而成和uy)31(xxu22的单调减区间求函数xxy22)31(练习：.2541的定义域与值域、求函数例xy.04241xyx得解：由函数4x}.4|{241xxyx的定义域为函数.04104xx得由1241xy}.1,0|{241yyyyx且的值域为函数指数形式的复合函数的定义域与值域求函数y＝14x＋12x＋1的值域．【错解】令t＝12x，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝t＋122＋34≥34，当t＝－12时，ymin＝34，即函数的值域是[34，＋∞)．【错因】原函数的自变量x的取值范围是R，换元后t＝12x0，而不是t∈R，错解中，把t的取值范围错当成了R.的值域。、求函数例1)21()41(6xxy【正解】令t＝12x，t∈(0，＋∞)，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝t＋122＋34.因为函数y＝t＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数，所以y0＋122＋34＝1，即原函数的值域是(1，＋∞)．解：例7.求证函数是奇函数指数形式的复合函数的奇偶性101()101xxfx证明：函数的定义域为R,所以f(x)在R上是奇函数.101()101xxfx10(101)10(101)xxxx110110xx().fx的取值范围。恒成立，求不等式）若对任意的值（）求（是奇函数上的函数、已知定义在例kktfttfRtbaabxfxx0)2()2(,2,122)(R82210)0(R)(1fxf为奇函数，定义域为）解：（1021-bab即axfxx1221)()1()1(ff又2421121-1aaa1,2ba利用f(0)=0的取值范围。恒成立，求不等式）若对任意的值（）求（是奇函数上的函数、已知定义在例kktfttfRtbaabxfxx0)2()2(,2,122)(R6221上单调递减。在）知由（R121212221)(11xxxxf)()()(xfxfxf为奇函数又)2()2(222ktfttf）由已知有（)2()2(22tkfttf2222tktt上恒成立。在即Rtktt0232310124kk的取值范围。恒成立，求不等式）若对任意的值（）求（是奇函数上的函数、已知定义在例kktfttfRtbaabxfxx0)2()2(,2,122)(R6221有：同法）解法（122上恒成立。在即Rtktt0232上恒成立在即R232tttk3131)31(32322ttt又31k解:若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),22(),2121xxaa即22221221xxxa22212xx.2设a是实数,(2)试确定a的值,使f(x)为奇函数.2().21xfxa∴a=1.