我的收藏-高考数学-圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系突破复习

圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系走进高考第一关基础关教材回归1.圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，其中圆心为________，半径为________．(a，b)r2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，其中圆心为________，半径r＝____________________.若D2＋E2－4F＝0，则表示点________．若D2＋E2－4F0，______________________.则不表示任何曲线(,)22DE22142DEF(,)22DE3．点与圆的位置关系及判断(1)设点P到圆心的距离为d，圆半径为r，点P在圆外⇔________；点P在圆上⇔________；点P在圆内⇔________.drd＝rdr(2)点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系可以这样判断：当(x0－a)2＋(y0－b)2________r2时，点P在圆外；当(x0－a)2＋(y0－b)2________r2时，点P在圆上；当(x0－a)2＋(y0－b)2________r2时，点P在圆内．＝(3)设P(x0，y0)，圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则___________⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F0；___________⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0；___________⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F0.P在圆外P在圆上P在圆内4．直线与圆的三种位置关系及公共点个数位置关系公共点个数相交________相切________相离________2个1个0个5.直线：Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)的位置关系的判断方法有：(1)几何方法圆心(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝，________⇔直线与圆相交；________⇔直线与圆相切；________⇔直线与圆相离．22AaBbCABdrd＝rdr________⇔直线与圆相交；________⇔直线与圆相切；________⇔直线与圆相离．222()0()()AxByCxaybr2代数方法由消元，得到一元二次方程的判别式为，则Δ0Δ＝0Δ06．圆与圆的位置关系有五种，分别为____________________、_______________________、____________________、_______________________、____________________.相离外切相交内切内含7．两圆位置关系的判断方法：两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r10)与(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r20)的圆心距为d，则dr1＋r2⇔两圆________；d＝r1＋r2⇔两圆________；相离外切|r1－r2|dr1＋r2⇔两圆________；d＝|r1－r2|⇔两圆________；0≤d|r1－r2|⇔两圆________(d＝0，且r1≠r2时为同心圆)．相交内切内含考点陪练1.方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是()1.1411144mmmmmA1BCD．．．或答案：D()()()11.4mmmm2242450解析：原方程表示圆＋－－，解得或2．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的标准方程为()A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝8答案：B(,)(,)(,)2()().ABrxy22022011112解析：易得两端点分别为，，故圆心，半径＝，所以圆的标准方程为－＋－＝3．(基础题，易)若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为().3,3.3,33333.,.,3333ABCD答案：C[][)33[]33CABBADll30030150180解析：数形结合的方法．如图所示，＝＝，直线的倾斜角的取值范围为，，．直线的斜率的取值范围为－，．4．已知ab0且a＝2c，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)()A．必在圆x2＋y2＝2内B．必在圆x2＋y2＝2上C．必在圆x2＋y2＝2外D．以上三种情况都有可能答案：A2221222222122222().1.2.2()A.bcxxxxaabcxxxxxxaacbbxxaaaPxxxy1212212122122112解析：＋＝－，＝－，＋＝＋－＝＋又＝，＋＝＋故点，一定在圆＋＝内，因此选评析：本题综合考查了韦达定理以及点与圆的位置关系．5．实数x，y，m，n满足x2＋y2－4x－8y＋19＝0，m2＋n2＋8m＋8n＋28＝0，则(x－m)2＋(y－n)2的最大值和最小值分别为__________________．16949解读高考第二关热点关类型一：求圆的方程解题准备：无论是圆的标准方程还是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应用三个条件来求．一般地，已知圆心或半径的条件，选用圆的标准式，否则选用一般式．另外，还有几何法可以用来求圆的方程．要充分利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”“半径，弦心距，弦长的一半构成直角三角形”等．典例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系．[分析]欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标和圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系；若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．22[]()().0.().(,)(,)().()().xaybrybxayrABarararxy222222222220143211612034120解　方法一：设圆的标准方程为－＋－＝圆心在＝上，故＝圆的方程为－＋＝又该圆过、两点．－＋＝，解得＝－，＝－＋＝，所以所求圆的方程为＋＋＝0.2(,)(,)19..xyDxEyFExEABDDFEDFFxyx22220014322170031302190方法二：设圆方程为＋＋＋＋＝，因为圆心在轴上，则－＝，即＝又圆过和，所以＝，＋＋＝，解得＝，＋＋＝，＝－所以圆的方程为＋＋－＝(,)(,)4213(,)0.ABABCABlklABABlyxxy14321123321方法三：因为圆过、两点，所以圆心必在线段的垂直平分线上，又因为＝＝－，故的斜率为，又的中点为，故的垂直平分线的方程为－＝－，即－＋＝2222(,)||11420.()20.(,)(,)||21425.yCrACxyPCdPCrP2201012410又知圆心在直线＝上，故圆心坐标为－．半径＝＝＝故所求圆的方程为＋＋＝又点到圆心－的距离为＝＝＝点在圆外．[评析](1)本题方法一与方法二都使用了待定系数法，其中方法一设了圆的标准方程，方法二设了圆的一般方程，都是结合条件来求所设方程中的待定系数；方法三则应用了平面几何知识：圆心与弦的中点的弦线与弦垂直．一般而言，在解析几何问题中，能用上平面几何知识，会使解题变得相对简单．(2)无论哪种解法，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系．类型二：直线与圆的位置关系解题准备：1.直线与圆位置关系的判定方法：(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小判断．当dr时，直线与圆相交；当d＝r时，直线与圆相切；当dr时，直线与圆相离．(2)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究．若有两组不同的实数解，即Δ0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ0，则直线与圆相离．222||1||.().ABkxxxyrPxyxxyyr1222000023．若直线与圆相交，则直线被圆截得的弦长＝－．以圆＋＝上一点，为切点的切线方程为＋＝典例2已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；(2)求直线l被圆C截得弦长最短长度及此时l的直线方程．22［解析］（１）直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0，即不论ｍ为任何实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点．两方程联立，解得交点为(3,1)，又有(3-1)+(1-2)=5＜25，点(3,1)在圆内部．不论ｍ为何实数，直线ｌ与圆恒相交．2222112225(31)(12)45.11,2.2113CMABABrCMkkk（２）从(1)的结论知直线ｌ过定点Ｍ(3,1)，且与过此点的圆Ｏ的半径垂直时，l被圆所截的弦长最短，由垂径定理得此时，从而l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.[探究1]已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点．(1)求实数k的取值范围；(2)求证：为定值；(3)若O为坐标原点，且＝12，求k的值．AMANOMON[分析]本题主要考查直线的方程、直线与圆的位置关系、根与系数的关系、平面向量及均值不等式等知识点．[]()(,)1()()()()47[()]()347.3()lAklykxCxykxkxkkkAMANANATTAMAN22222221012311417041417027解　直线过点且斜率为直线的方程为＝＋将其代入：－＋－＝，得＋－＋＋＝，①由题意，＝－＋－＋，得利用切割线定理可以证明＝＝，为切线，为切点．根据向量的运算：＝cos0AMAN7为定值．112212212221212121223()()44171(1)()4(1)18121()1MxyNxykxxkxxkOMONxxyykxxkxxkkkk设，，，，则由①得＋＝，＝＝＋＝＋＋＋＋＝＋＝＝代入①检验符合题意．[评析]不能将各知识点相联系或进行有效转化，造成思路受阻或计算繁锁．本题涉及的知识点很多，虽然含有向量，但只是用到了平面向量最基本的知识，最后还是很常规的点到直线的距离、韦达定理等方法，能否将问题合理地转换是解题的关键．类型三：圆与圆的位置关系解题准备：判断圆与圆的位置关系常用几何法：设两圆圆心分别为O1、O2、，半径为r1、r2，则|O1O2|r1＋r2⇔相离；|O1O2|＝r1＋r2⇔外切；|r1－r2||O1O2|r1＋r2⇔相交；|O1O2|＝|r1－r2|⇔内切；0|O1O2||r1－r2|⇔内含．典例3已知圆C：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，试就m的取值讨论两圆的位置关系．[分析]求两圆的圆心距d，判断d与R＋r，R－r的关系．221222231212221212:()(2)9,:(1)()4.(1)(2)3,2.(1)(1)(2)5,2,;xmyCxymCCMMrrCCrrmmm［解］圆C圆两圆的圆心距当即解得m=-5或m=2,故m=-5或时两圆外切22121212121212121212(2),(1)(2)1,3,5212,;(4),52,;(4),21CCrrmmrrCCrrmmCCrrmmCCrrm当即解得m=-2或m=-1,故m=-2或m=-1时，两圆内切；（）当即或时两圆相交当即或时两圆外离当即时，两圆内含.[评析]没有根据圆心距与两圆半径的和、差关系，确定两圆位置关系，或用代