第26章 概率波

第26章概率波1900年，普朗克引入能量子的概念，解释了黑体辐射的规律，为量子理论奠定了基础。1905年，爱因斯坦提出光量子学说，说明了光电效应的实验规律，为量子理论的发展开创了新局面。1920年，康普顿效应的发现、以及理论分析和实验结果的一致，有力地证明了光子学说的正确性。19世纪80年代，光谱学的发展，使人们意识到光谱规律实质是显示了原子内在的机理。1897年，J.J.汤姆孙发现了电子，促使人们探索原子的结构。1、巴耳末系HHHHH：红色6562.10埃H：深绿4860.74埃H：青色4340.10埃H：紫色4101.20埃瑞典埃格斯特朗在1853年首先观测到的，波长的单位就是以他的名字命名的。1885年瑞士巴耳末得到公式,5,4,32222nnnB，＝06.3645AB1890年，里德伯采用波数,5,4,3121~22nnRv，17m104153373097.1＝R里德伯常量一、氢原子光谱的规律性氢气放电管获得氢光谱在可见光范围内有四条：2、氢原子光谱规律赖曼系(1916)紫外,4,3,2)111(~22nnRv，帕邢系(1908)可见光,6,5,4)131(~22nnRv，,7,6,5)141(~22nnRv，,8,7,6)151(~22nnRv，布喇开系(1922)近红外普丰德系(1924)红外汉弗莱系(1953)远红外,9,8,7)161(~22nnRv，nf一定时，由不同的ni构成一个谱系；不同的nf构成不同的谱系。实验表明：原子具有线光谱；各谱线间具有一定的关系;每一谱线的波数都可表达为两个光谱项之差。,21;,2,111~22ffififnnnnnnRv，里兹组合原理：任一条谱线的波数都等于该元素所固有的许多光谱项中的两项之差，这是里兹在1908年发现的。)()(~ifnTnTv2)(ffnRnT2)(iinRnT表面上如此繁杂的光谱线可以用如此简单的公式表示，这是一项出色的成果。但是它是凭经验凑出来的，它为什么与实验符合得如此之好，在公式问世将近三十年内，一直是个谜。卢瑟福（E.Rutherford，1871-1937）1859年成为卡文迪许实验室主任J.J.Thomson的研究生。1899年1月发现铀盐放射出α射线和β射线，并提出天然放射性的衰变理论和衰变定律。天然放射性的发现与电子和X射线的发现，是20世纪三项最伟大的发现。卢瑟福还判定α粒子是带正电的氦原子核，他根据α粒子散射实验提出原子的有核模型。卢瑟福被誉为原子物理之父，又是开创原子核物理学的奠基人。英国物理学家。他于1908年获得诺贝尔奖。1903年J.J.汤姆孙提出：原子中的正电荷和原子的质量均匀地分布在半径为10-10m的球体范围内，而原子中的电子浸于此球中。1、原子的葡萄干蛋糕模型缺点：不能解释正负电荷不中和；不解释氢原子光谱存在的谱线系；不解释α粒子大角度散射。二、卢瑟福的原子有核模型2、α粒子散射实验RSOFPTθ大部分α粒子穿过金箔后只偏转很小的角度；但是在实验中竟然发现有少量α粒子的偏转角度大于900，甚至约有几万分之一的粒子被向后散射了。α粒子大角度散射否定了汤姆孙的原子模型。m1010m151410~10原子中全部正电荷集中于中心，线度10-15m左右，称为原子核，电子绕核旋转，受库仑力作用，电子运动半径10-10m。3、卢瑟福原子有核模型或行星模型经典电磁理论：作加速运动的电子会不断地向外辐射电磁波，其频率等于电子绕核旋转的频率。由于原子不断地向外辐射电磁波，其能量会逐渐减少，电子绕核旋转的频率也要逐渐地改变，因而原子发射的光谱应该是连续光谱。由于原子总能量的减少，电子将逐渐接近原子核而导致电子会落到原子核上。实验事实：原子是稳定的。原子所发射的线光谱具有一定的规律。4、卢瑟福的原子有核模型的困难玻尔（NielshenrikDavidBohr，1885-1962）1913年发表了《论原子结构与分子结构》等三篇论文，提出了在卢瑟福原子有核模型基础上的关于原子稳定性和量子跃迁的三条假设，从而圆满地解释了氢原子的光谱规律。玻尔的成功，使量子理论取得重大发展，推动了量子物理的形成，具有划时代的意义。玻尔于1922年12月10日诺贝尔诞生100周年之际，在瑞典首都接受了当年的诺贝尔物理学奖。1937年，他来中国作学术访问，表达了对中国人民的友好情谊。丹麦理论物理学家，现代物理学的创始人之一。，)11(1~22nnR，)11(22nnhcRhch此式右端应为能量差。1913年2月，玻尔从好友那里得知了氢原子光谱的经验公式，他立即获得了他理论。正如他后来常说的“我一看到巴耳末公式，整个问题对我来说就全部清楚了”。由里德伯方程：双方乘hc得：定态假说：电子在原子中，可以在一些特定的圆轨道上运动，而不辐射电磁波，这时原子处于稳定状态(定态)并具有一定的能量。其中n=1,2,3,...称为主量子数nhnmrvL2量子化条件：电子以速度v在半径为r的圆周上绕核运动时，只的电子角动量L等于h/(2)的整数倍的那些轨道才是稳定的1、玻尔的基本假设跃迁假设：当原子从高能态跃迁到低能态，即电子从高能量Ei的轨道跃迁到低能量Ef的轨道上时，要发射能量为h的光子：fiEEh卢瑟福的原子核模型氢原子光谱的巴尔末公式普朗克能量子概念三、氢原子的玻尔理论2、玻尔的氢原子图象电子轨道半径电子在半径为rn轨道上以速率vn运动20224nnnrervm2hnrmvnnnnmrnhv22202mehnrnmmehr10220110529.0,32112，，nrnrn波尔半径n=1r=r1n=2r=4r1n=3r=9r1n=4r=16r1原子能级2220402218421nhmeremvEnnneVhmeE6.13822041,3,2,121nnEEn，1234氢原子能级图65n=1基态n=2,3,…激发态电离nrEn,0,把一个基态电子电离所需要的能量，电离能：ev6.131*EEEn电子跃迁的辐射规律：fiEEhfiifnnnnhme，222204118fiifnnnnchme，223204118173204101.0978mchme与里德伯常量非常接近。赖曼系巴耳末系帕邢系布喇开系En=E1/n265E5=E1/254E4=E1/163E3=E1/9=-1.51eV2E2=E1/4=-3.39eV1E1=-13.6eV氢原子的光谱图3、玻尔氢原子理论的成绩成功解释了原子的稳定性、大小及氢原子光谱的规律性。从理论上计算了里德伯常量；解决了近30年之久的巴耳末公式之迷，打开了人们认识原子结构的大门，而且玻尔提出的一些概念，如能量量子化、量子跃迁及频率条件等，至今仍然是正确的。能对类氢原子的光谱给予说明。4、玻尔氢原子理论的困难不能解释多电子原子的光谱；不能解释谱线的强度和宽度；不能说明原子是如何组成分子、构成液体和固体的；在逻辑上也存在矛盾：把微观粒子看成是遵守经典力学规律的质点，又赋予它们量子化的特征。75.12)111(6.131221nEEEn）4n4n3n2n1n434241323121例：基态氢原子吸收能量为12.75ev的光子，求：1)氢原子将被激发到哪个能级？2)受激氢原子向能级跃迁时，可能发出哪些谱线？画出定性能级图，并将这些跃迁画在能级图上。解：薛定谔(ErwinSchrödinger,1887–1961)薛定谔在德布罗意思想的基础上，于1926年在《量子化就是本征值问题》的论文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方程(薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程为基础的波动力学和量子力学的近似方法。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖。薛定谔还是现代分子生物学的奠基人，1944年，他发表一本名为《什么是生命——活细胞的物理面貌》的书，从能量、遗传和信息方面来探讨生命的奥秘。奥地利著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。1、平面简谐波波函数一个频率为ν，波长为λ、沿x方向传播的单色平面波的波函数为：xtAtxy2cos),(复数形式:xtiAetxy2),(2、自由粒子的波函数一个自由粒子有动能E和动量p。对应的德布罗意波具有频率和波长：hE/ph/波函数可以写成：/20,xtietxpxEthietx20,振幅一、波函数概率密度沿x方向运动的自由粒子的德布罗意波函数如果推广到三维的情况，自由粒子的德布罗意波函数为：rPEtietr0,3、波函数的统计解释爱因斯坦在提出光子假设之后，对光的波动性作了量子统计解释：由光的波动性得到光强I∝E02，E0是电场强度的振幅。由光的量子性得到光强I=Nhν,N是单位时间通过垂直于传播方向单位面积的平均光子数。由此得到E02∝N，N与光子在单位体积内的概率即概率密度成正比，E02也与概率密度成正比。因此，从光的粒子性来看，光波是一种概率波。德布罗意波到底是什么波？物质波波函数和粒子的运动到底是什么关系？1926年，德国物理学家玻恩（M.Born）在爱因斯坦将光波振幅解释为光子出现的概率密度的观点引导下，提出了概率波的概念解决了上述问题。玻恩指出：德布罗意波是概率波，波函数振幅的平方与粒子出现的概率密度成正比。某一时刻出现在某点附近体积元dV中的粒子的概率，与波函数模的平方成正比。dVtzyxdW2,,,概率密度dVdW/波函数Ψ(x,y,z,t)的统计解释：波函数模的平方代表某时刻t在空间某点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的概率，即|Ψ|2代表概率密度。4、波函数满足的条件因为粒子在全空间出现是必然事件，在整个空间发现粒子的概率应该等于，即：1dV波函数除了要满足归一化条件外，还必须满足波函数的标准化条件：波函数是有限性函数，是单值函数，是连续函数。归一化条件波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。例：将已求得的简谐振子的波函数归一化并求概论密度，其中ß,E都是实常数，A为待定归一化常数。解：22222,,AdxeAdxtxtxx令其为1，则:412A归一化的波函数为iEtxeetx241222,相应的概率密度为()2x2β-2eπβ=ψ=t,xωiEtxeAetx222,1、自由粒子的薛定谔方程分别对时间求一阶偏导数，对空间求二阶偏导数，得：二、薛定谔方程rPEtietr0,Eit2222ypy2222zpz2222xpx以上三式相加，得：222222222pzyx利用自由粒子的能量和动量的关系式：mpE22得到自由粒子的波函数所满足的微分方程：222mti这就是自由粒子的薛定谔方程2222222zyx2、势场中运动的粒子的薛定谔方程）（rUmti222）（rUmH222ˆHtiˆ哈密顿算符rUmpE22已知粒子所处的势场为：粒子在势阱内受